La evaluación de un lento suma

Question

En mi integración de aventuras, me encontré con esta suma, que no podía simplificar:

$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}\log(2n+1)}{2n+1}$$

Wolfram parece creer que la suma se bifurca y no es de mucha ayuda aquí.

¿Una forma cerrada para esta suma de existir? Si no, puede que esta suma de dinero se transforma muy bien que haya una convergencia más rápida?

Answer 1

El uso de $$\frac{\log(2n+1)}{2n+1} = -\lim_{s \to 1^+} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s} \frac{1}{(2n+1)^s}$$ así como la convergencia absoluta de $\sum_{n=0}^\infty (-1)^n (2n+1)^{-s}$ $s>1$ tenemos $$\begin{eqnarray} \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{\log(2n+1)}{2n+1} &=& -\lim_{s \to 1^+} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s} \sum_{n=0}^\infty (-1)^n (2n+1)^{-s} \\ &=& -\lim_{s \to 1^+} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s} \left(2^{-2 s} \left( \zeta\left(s,\frac{1}{4}\right) - \zeta\left(s,\frac{3}{4}\right) \right) \right) \end{eqnarray} $$ El uso de $\zeta(s,a) = \frac{1}{s-1} - \psi(a) + \gamma_1(a)(s-1) + \mathcal{o}(s-1)$ donde $\psi(a)$ es la función digamma, y $\gamma_1(a)$ es el primer generalizado de Stieltjes constante, obtenemos: $$ \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{\log(2n+1)}{2n+1} = \frac{\pi}{2} \log(2) + \frac{1}{4} \left( \gamma_1\left(\frac{1}{4}\right) - \gamma_1\left(\frac{4}{4}\right) \right) $$ la misma combinación de generalizada Stieltjes constantes apareció en otra respuesta de la mina, que conduce a la siguiente forma cerrada para la suma: $$ \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{\log(2n+1)}{2n+1} = - \frac{\pi}{4} \left( \gamma + \log \left( \frac{4 \pi^3}{\Gamma\left(\frac{1}{4}\right)^4} \right) \right) \aprox -0.1929013\color\gris{167969124} $$