serie infinita de la forma $\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{1}{a^{k}+1}$

Question

Hay un método para la evaluación de una serie infinita de la forma:

$\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{a^{k}+1}, \;\ a\in \mathbb{N}$?. Por ejemplo, decir $a=2$ y hemos

$\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{2^{k}+1}$.

Sé que esto converge a $\approx .7645$, pero es posible encontrar la suma de sus partes utilizando algún método inteligente?.

Podría parecer que los Psi función está involucrado. He utilizado la suma de Wolfram y me dio

$$-1+\frac{{\psi}_{1/2}^{(0)}\left(1-\frac{\pi\cdot i}{\ln(2)}\right)}{\ln(2)}$$

Estoy familiarizado con la función Psi, pero no estoy familiarizado con la notación de la Isp. ¿Qué hace el 1/2 subíndice representa?

Answer 1

Lo que quiero mirar es Lambert de la Serie. Observe que en la expresión de Wolfram Alpha escupidos, el $\frac{-\pi i}{\log 2}$ está simplemente ahí, a su vez el signo positivo a negativo, de modo que estamos tratando con Lambert de la Serie.

Tesis de la serie de potencia de la serie donde los coeficientes están dados por Dirichlet convolución, por lo que a menudo están relacionados con funciones multiplicativas.

Deje $$L(q)=\sum_{n=1}^\infty a_n \frac{q^n}{1-q^n}=\sum_{n=1}^\infty \left(\sum_{d|n} a_d \right) q^n.$$

Entonces podemos reescribir una serie relacionada con la suya por encima de: $$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^n-1}=\sum_{n=1}^\infty \frac{d(n)}{2^n}.$$

Sin embargo, si los coeficientes $a_n$ son funciones que volverse más agradable cuando se convoluciona con $1$ podemos conseguir algo diferente. Por ejemplo, $$\sum_{n=1}^\infty \mu(n)\frac{q^n}{1-q^n}=q.

Answer 2

No muy relevante, pero se sabe que estos números son irracionales.
Peter B. Borwein, Sobre la irracionalidad de $\sum_{n\gt0}(1/(q^n+r))$, J. Teoría de los números 37 (1991), no. 3, 253-259, MR1096442 (92b:11046) demuestra que la suma es irracional cuando $r$ es racional y $q\ge2$ es un número entero. Podría ser digno de una mirada.

EDIT: Como se Dan las notas, $r$ no puede ser cero. También, no puede ser de la forma $-q^m$, para que no nos encontramos dividiendo por cero.

Answer 3

Esta no es precisamente la pregunta, pero sigue siendo muy interesante: Una suma evaluado en términos de Jacobi theta funciones... $$\sum_{n={-\infty}}^\infty \frac{x^n}{1-p^{2n}} = \frac{\theta_1(i\ln(ax)/2,q)\theta_2(0,q)\theta_3(0,q)\theta_4(0,q))}{2i\theta_1(i\ln(x)/2,q)\theta_1(i\ln(a)/2,q)}$$ para $|q|^2 < |x| < 1$.

También: $$\sum_{n=-\infty}^\infty \frac{1}{\alpha^n-\beta^n} = \frac{\theta_1(i\ln(\alpha/a)/2,\sqrt{\beta/\alpha}) \theta_2(0,\sqrt{\beta/\alpha})\theta_3(0,\sqrt{\beta/\alpha}) \theta_4(0,\sqrt{\beta/\alpha})}{2i \theta_1(i\ln(\alpha)/2,\sqrt{\beta/\alpha}) \theta_1(i\ln(a)/2,\sqrt{\beta/\alpha})}$$ para $0 < |\beta| < 1 < |\alpha|$.

(Siempre he copiado correctamente .)