Inversa de a $A^{-1}+B^{-1}$

Question

Si $A, B$ $A + B$ todos los $n × n$ invertible matrices. Demostrar que $A^{−1} + B^{−1}$ es invertible y a la inversa es $A(A + B) ^{−1}B$.

Me temo que estoy muy pegado en esto, y realmente no he probado mucho porque no sé qué probar.

Gracias por la ayuda chicos, ahora entiendo.

Answer 1

He aquí una breve prueba: $$\begin{align} A^{-1} + B^{-1} &= B^{-1} + A^{-1} \\ &= B^{-1}AA^{-1} + B^{-1}BA^{-1}\\ &= B^{-1}(A + B)A^{-1} \\ \end{align}$$ Por lo $A^{-1} + B^{-1}$ es el producto de invertir matrices y por lo tanto es invertible, con inversa igual a $$\begin{align} (A^{-1} + B^{-1})^{-1} &= (B^{-1}(A + B)A^{-1})^{-1} \\ &= A(A + B)^{-1}B \\ \end{align}$$

Answer 2

$$\begin{equation} (A^{-1} + B^{-1}) A (A+B)^{-1} B = A^{-1}A(A+B)^{-1}B + B^{-1} A (A+B)^{-1} B \end{equation}$$ por la ley distributiva. Ahora aquí viene el truco: Escribe $A = (A+B) - B$ para obtener

$$A^{-1} (A+B)^{-1} + B^{-1} (A+B)^{-1} B = (A+B)^{-1} + B^{-1}(A+B)(A+B)^{-1} B -B^{-1} B (A+B)^{-1} B \\ = (A+B)^{-1}B + I - A+B)^{-1} B = I$$

Answer 3

Aquí está la mitad de la solución. $$A(A+B)^{-1}B=((A+B)A^{-1})^{-1}B=(I+BA^{-1})^{-1}B$$ (Tenga en cuenta que la inversión se invierte el orden de los productos). ¿Qué sucede si usted hace lo mismo con $B$? A continuación, obtener $$(B^{-1}(I+BA^{-1}))^{-1}=(B^{-1}+A^{-1})^{-1}$$ Ni siquiera nos han de multiplicar de cualquier cosa!