¿Cuál es la distribución de una distribución simétrica? Alguien me dijo que una variable aleatoria $X$ proviene de una distribución simétrica si y sólo si $X$ y $-X$ tiene la misma distribución. Pero creo que esta definición es parcialmente cierta. Porque puedo presentar un contraejemplo $X\sim N(\mu,\sigma^{2})$ y $\mu\neq0$ . Obviamente, tiene una distribución simétrica, pero $X$ y $-X$ ¡tienen una distribución diferente! ¿Estoy en lo cierto? ¿Alguna vez han pensado en esta cuestión? ¿Cuál es la definición exacta de distribución simétrica?
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jldugger
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Brevemente: $X$ es simétrico cuando $X$ y $2a-X$ tienen la misma distribución para algún número real $a$ . Pero llegar a esto de forma plenamente justificada requiere algunas divagaciones y generalizaciones, porque plantea muchas cuestiones implícitas: por qué este ¿la definición de "simetría"? ¿Puede haber otros tipos de simetrías? ¿Cuál es la relación entre una distribución y sus simetrías y, a la inversa, cuál es la relación entre una "simetría" y las distribuciones que pueden tener esa simetría?
Las simetrías en cuestión son reflexiones de la línea real. Todas son de la forma
$$x \to 2a-x$$
para alguna constante $a$ .
Entonces, supongamos que $X$ tiene esta simetría para al menos una $a$ . Entonces la simetría implica
$$\Pr[X \ge a] = \Pr[2a-X \ge a] = \Pr[X \le a]$$
demostrando que $a$ es un mediana de $X$ . Del mismo modo, si $X$ tiene una expectativa, entonces se deduce inmediatamente que $a = E[X]$ . Por lo tanto, normalmente podemos precisar $a$ fácilmente. Aunque no sea así, $a$ (y por tanto la propia simetría) sigue estando determinada de forma única (si es que existe).
Para ver esto, dejemos $b$ sea cualquier centro de simetría. Entonces aplicando ambas simetrías vemos que $X$ es invariable bajo la traducción $x \to x + 2(b-a)$ . Si $b-a \ne 0$ La distribución de $X$ debe tener un periodo de $b-a$ lo cual es imposible porque la probabilidad total de una distribución periódica es $0$ o infinito. Así, $b-a=0$ , demostrando que $a$ es único.
De manera más general, cuando $G$ es un grupo que actúa fielmente sobre la recta real (y por extensión sobre todos sus subconjuntos de Borel), podríamos decir que una distribución $X$ es "simétrica" (con respecto a $G$ ) cuando
$$\Pr[X \in E] = \Pr[X \in E^g]$$
para todos los conjuntos medibles $E$ y elementos $g \in G$ , donde $E^g$ denota la imagen de $E$ bajo la acción de $g$ .
Como ejemplo, dejar $G$ sigue siendo un grupo de orden $2$ pero ahora dejemos que su acción sea tomar el recíproco de un número real (y dejemos que fije $0$ ). La norma lognormal es simétrica con respecto a este grupo. Este ejemplo puede entenderse como un caso de simetría de reflexión en el que se ha producido una reexpresión no lineal de las coordenadas. Esto sugiere centrarse en las transformaciones que respetan la "estructura" de la recta real. La estructura esencial para la probabilidad debe estar relacionada con los conjuntos de Borel y la medida de Lebesgue, que pueden definirse en términos de (euclidianos) distancia entre dos puntos.
Un mapa que preserva la distancia es, por definición, un isometría. Es bien sabido (y fácil, aunque un poco complicado, de demostrar) que todas las isometrías de la recta real son generadas por reflexiones. De ahí que, cuando se entiende que "simétrico" significa simétrico con respecto a algún grupo de isometrías el grupo debe ser generado por a lo sumo una reflexión y hemos visto que la reflexión está determinada unívocamente por cualquier distribución simétrica con respecto a ella. En este sentido, el análisis anterior es exhaustivo y justifica la terminología habitual de las distribuciones "simétricas".
Por cierto, una gran cantidad de ejemplos multivariantes de las distribuciones invariantes bajo grupos de isometrías se ofrece al considerar las distribuciones "esféricas". Éstas son invariantes bajo todas las rotaciones (relativas a algún centro fijo). Generalizan el caso unidimensional: las "rotaciones" de la línea real son sólo las reflexiones.
Por último, vale la pena señalar que una construcción estándar - promediando sobre el grupo - da una manera de producir cargas de distribuciones simétricas. En el caso de la recta real, dejemos que $G$ ser generada por la reflexión sobre un punto $a$ para que esté formado por el elemento de identidad $e$ y esta reflexión, $g$ . Dejemos que $X$ sea cualquier distribución. Definir la distribución $Y$ al establecer
$${\Pr}_Y[E] = \frac{1}{|G|}\sum_{g \in G} {\Pr}_X[E^g] = ({\Pr}_X[E] + {\Pr}_X[E^g])/2$$
para todos los conjuntos de Borel $E$ . Esto es manifiestamente simétrico y es fácil comprobar que sigue siendo una distribución (todas las probabilidades siguen siendo no negativas y la probabilidad total es $1$ ).
Para ilustrar el proceso de promediación de grupos, la FDP de una distribución Gamma simetrizada (centrada en $a=2$ ) se muestra en dorado. La Gamma original está en azul y su reflejo en rojo.
