Demostrar que la suma de los cuadrados de seno y coseno utilizando la fórmula de producto de Cauchy

Question

Aquí está el poder de la serie de seno y coseno: $$\sin(x) = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac {x^{2n+1}} {(2n+1)!}$$ y $$\cos(x) = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac {x^{2n}} {(2n)!}$$

¿Cómo puede ser demostrado que el $(\sin x)^2 + (\cos x)^2 = 1$ con el producto de Cauchy de la fórmula?

Tal vez de alguna manera con la identidad de $$\sum_{k=0}^{m} (-1)^k\binom mk$$, que es cero?

Answer 1

Sólo para ver lo fea que es, en realidad se puede hacer uso de Cauchy productos: \begin{align*}\cos^2 x&=\left(\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}\right)^{\!2}=\sum_{n=0}^\infty\sum_{k=0}^n (-1)^{n-k}\frac{x^{2(n-k)}}{(2(n-k))!}(-1)^k\frac{x^{2k}}{(2k)!}=\sum_{n=0}^\infty\sum_{k=0}^n(-1)^n\binom{2n}{2k}\frac{x^{2n}}{(2n)!}\\ \sin^2 x&=\left(\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}\right)^2=\sum_{n=0}^\infty\sum_{k=0}^n (-1)^{n-k}\frac{x^{2(n-k)+1}}{(2(n-k)+1)!}(-1)^k\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}\\&=\sum_{n=0}^\infty\sum_{k=0}^n(-1)^n\binom{2n+2}{2k+1}\frac{x^{2n+2}}{(2n+2)!}=\sum_{n=1}^\infty\sum_{k=0}^{n-1}(-1)^{n-1}\binom{2n}{2k+1}\frac{x^{2n}}{(2n)!}\end{align*} Ahora utilizamos el teorema del binomio: \begin{align*}\cos^2 x+\sin^2 x&=1+\sum_{n=1}^\infty(-1)^n\left(\sum_{k=0}^n\binom{2n}{2k}-\sum_{k=0}^{n-1}\binom{2n}{2k+1}\right)\frac{x^{2n}}{(2n)!}\\&=1+\sum_{n=1}^\infty(-1)^n\sum_{k=0}^{2n}(-1)^k\binom{2n}{k}\frac{x^{2n}}{(2n)!}=1+\sum_{n=1}^\infty(-1)^n(1-1)^{2n}\frac{x^{2n}}{(2n)!}=1+\sum_{n=0}^\infty 0\\&=1\end{align*}

Answer 2

Esto no utilice el producto de Cauchy de la fórmula, pero usted puede resolver esta identidad, utilizando el poder de la serie en sí.

Usando el poder de la serie nos encontramos con que $$\frac{d}{dx}\sin(x) = \cos(x)$$ and $$\frac{d}{dx} \cos(x) = -\sin(x).$$

Tenga en cuenta también que: $$2\sin(x)\cos(x)-2\cos(x)\sin(x)=0$$

La integración de ambos lados nos da $$(\sin(x))^2 + (\cos(x))^2 = C$$ for some constant $C$. Finally we can determine $C$ by plugging in $x=0$. This gives us $(0)^2 + 1^2 = C$. Thus we can conclude that $$(\sin(x))^2+(\cos(x))^2=1.$$

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Como una nota del lado, también se puede determinar la potencia de la serie para $f(x)=(\sin(x))^2$ $(\cos(x))^2$ sin el uso de la fórmula de Cauchy.

Tenga en cuenta que $f(0)=0$ y $$f'(x)=2\sin(x)\cos(x)=\sin(2x)=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n2^{2n+1}x^{2n+1}}{(2n+1)!}$$ thus $$(\sin(x))^2 = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n 2^{2n+1} x^{2n+2}}{(2n+2)!}.$$

Answer 3

Usted puede mostrar que sólo $\sin(x)=\dfrac{e^{ix}-e^{ix}}{2i}$ $\cos(x)=\dfrac{e^{ix}+e^{ix}}{2}$ de la potencia de la serie y, a continuación, plaza y agregar.