Actualmente estoy tratando de conseguir exactamente lo que el débil y el débil* las topologías son, en particular, en relación con el concepto de la debilidad de la convergencia en la medida, sin embargo no estoy completamente segura de lo que he conseguido hasta ahora. Por lo tanto, aquí hay un resumen de lo que he entendido. Yo difundido el texto con algunas preguntas numeradas, para señalar lo que no estoy seguro acerca de este resumen.
Cualquier comentario será más que bienvenido!
Edit: Las respuestas que he recibido han sido muy útiles y estimulantes (por ejemplo, terminé mirando el Kelley-Namioka de texto), pero me gustaría tener algo más específico. Por lo tanto, voy a añadir una recompensa. Por lo tanto, he modificado ligeramente el texto, porque he cambiado mi "opinión" sobre algunas cuestiones.
Edit 2: sé que la edición de poner una vez más una pregunta en la parte superior, sin embargo yo no editar con este propósito. De hecho, me di cuenta de que no recibí ninguna respuesta, y, teniendo en cuenta que la realidad ha cambiado mi punto de vista sobre algunos temas (estoy estudiando el tema intensamente estos días), he cambiado el texto mejorar (OMI) el contenido, sin afectar a cualquier nueva respuesta. Además, agrego algunas sencillas preguntas que surgieron de estas horas de estudio, con el fin de dejar en claro lo que estoy buscando, y yo pongo el resto del texto, como bloque, para aquellos que quieren ver lo que terminó.
Preguntas:
1. ¿No es problemático el uso del producto interior notación cuando tratamos con dos pares y débil topologices, teniendo en cuenta que trabajamos en este caso, principalmente, de los espacios de Banach, y no todos los de la norma normas están asociados a un producto interior?
2. ¿Alguna vez entrar en la discusión sobre las topologías débiles el concepto de dual algebraico?
3. Si, por definición, $X^*$ es el dual topológico de $X$, por lo tanto es el conjunto de todas continua funcionales en $X$, no es, por definición, que cada una de las $x^* \in X^*$ es realmente continuo? ¿Por qué necesitamos la topología débil en $X$?
[El mismo problema que en realidad no se aplican a los débiles* la topología en $X^*$ que hace cada evaluación funcional $e_x: X \to \mathbb{R}$ continuo, porque esos evaluación funcionales no son continuos , por definición.]
4. Veo la forma en que el hecho de que el bidual $X^{**}$ puede ser mucho más grande que la de $X$ cuando tratamos con débil topologías pueden ser relevantes, es decir, si $X = X^{**}$, entonces el débil y débil* topologías de coincidir. Sin embargo, no veo cómo puede ser que $X \subset X^{**}$.
5. Relacionado con el anterior problema es el hecho de que cuando nos movemos en dos pares y topologías débiles a débiles convergencia en medida, no veo por qué la debilidad de la convergencia en la medida coincide con la de dotar a la referencia de espacio métrico $(X,d)$ con el débil* topología, y no simplemente la topología débil. Por tanto, la pregunta debería ser, ¿cómo decidir cuál es el principal espacio, ¿cuál es el doble de uno, y que uno es el único dotado de una topología, con el fin de llegar con el concepto de la debilidad de la convergencia? Es a través de la Representación de Riesz teorema?
(...y ahora me terminan buscando exactamente lo que la representación thoerem hace...)
6. He leído que lo que se llama la debilidad de la convergencia debe ser llamado débil* la convergencia, porque se basa en la débil* topología. Por qué, en realidad?
[True, esta cuestión puede considerarse como una repetición de la anterior]
En la siguiente, no son mis pensamientos en topologías débiles y débil convergencia. Espero que sean correctas o interesante. Les pongo como spoiler para no asustar a quien le gustaría la respuesta.
En general, tenemos la siguiente definición de inicial (o débil) topología: dado un conjunto $X \neq \varnothing$, una familia de espacios topológicos $\{ (Y_i, \tau_i ) \}_{i \in I}$, y para cada $i \in I$ una función de $f_i : X \to Y_i$, la inicial (o débil) topología es la más débil de la topología en $X$ que hace todas las funciones de $f_i$ continuo.
Observe que, si $\mathcal{F} := \{ f | f: X \to \mathbb{R} \}$, $X$ puede ser visto como un conjunto de real de funciones con valores en $\mathcal{F}$, donde cada una de las $x \in X$ es una evaluación funcional de la $e_x : X^* \to \mathbb{R}$ $e_x (f) = f(x)$ . Por lo tanto, la debilidad de la topología en $\mathcal{F}$, que se denota por a $\sigma (\mathcal{F}, X)$, es idéntica a la topología relativa en $\mathcal{F}$ como subconjunto de $\mathbb{R}^X$ dotado de la topología producto.Ahora, vamos a $X$ un espacio lineal con $x \in X$. Por lo tanto, vamos a $X'$ ser el dual algebraico de $X$, es decir, el espacio vectorial de todos los funcionales lineales en $X$, y deje $X^*$ ser el dual topológico de $X$, es decir, $X^* := \{ x^* | x^*: X \to \mathbb{R}, x^* \text{ continuous} \}$ es, o – en la llanura inglés – el espacio vectorial de todas lineal continua y funcionales en $X$,$x^* \in X^*$.
Observe que, para la siguiente, por ejemplo Rudin señala que $\langle x , x^* \rangle \equiv x^*(x)$, por lo tanto, podemos tener ese $\langle x^* , x \rangle \equiv e_x (x^*)$. [un. A la derecha?]
Por lo tanto, $X$ puede ser visto como un subespacio vectorial de $\mathbb{R}^{X^*}$, en cuyo caso $\sigma (X, X^*)$ es la topología débil en $X$ (denotado por $w$), que se define como $$ x_\alpha \overset{w}{\to} x \in X \Longleftrightarrow \forall x^* \in X^* , \langle x_a, x^* \rangle \to \langle x , x^* \rangle. $$
En la misma vena, $X^*$ puede ser visto como un subespacio vectorial de $\mathbb{R}^X$, en cuyo caso $\sigma (X^*, X)$ es el débil* topología en $X^*$ (denotado por $w^*$), que se define como $$ x^{*}_\alpha \overset{w^*}{\to} x^* \in X \Longleftrightarrow \forall x \in X , \langle x^{*}_a, x \rangle \to \langle x^* , x \rangle. $$
Observe que en ambos casos estamos justo a la disminución en las diferentes formas en que la definición original de la topología inicial dada al principio. Lo que estamos cambiando es simplemente la "referencia" del espacio que hace que todas las funciones continuas. De hecho, en el caso de la topología débil, tenemos que $(X, \sigma(X, X^*)$ es el espacio topológico que hace que todas las $x^* \in X^*$ continuo. En el caso de la débil* topología, tenemos que $(X^*, \sigma(X^*, X)$ es el espacio topológico que hace la evaluación funcionales $e_x$ $X$ $\mathbb{R}$continuo.
Sé que (después de un buen bookreading) que lo que se puede encontrar en el siguiente texto como el antiguo punto de vista es la manera correcta de mirar el problema, sin embargo sigo sienta que es el nuevo punto de vista de la forma correcta. En particular, puedo encontrar lo que escribí en el antiguo punto de vista engañosa. De hecho, me implícitamente estado que tenemos como doble par $\langle X, C(X) \rangle$ y cada una de las $\mu$$X$, pero esto no tiene sentido. De hecho, debemos tener el doble par es $\langle \Delta (X), C(X) \rangle$ y cada una de las $\mu$$\Delta (X)$. Pero entonces, si el doble par es realmente $\langle \Delta (X), C(X) \rangle$, de acuerdo a la definición de los débiles y débil* topología escribí, aquí en realidad estamos tratando con la topología débil! Por lo tanto, el doble par debe ser $\langle C(X), \Delta(X) \rangle$, pero ¿por qué?
Antiguo punto de vista:
Por lo tanto, si tomamos todas estas definiciones y los usamos para obtener lo que la debilidad de la convergencia en las medidas es, en realidad, tenemos que la debilidad de la convergencia en medida es la misma como la convergencia en la débil* topología. [b. A la derecha?]
De hecho, dado un espacio métrico $(X,d)$ una secuencia de medidas de $(\mu_n)$ converge débilmente a $\mu$ $X$ si y sólo si para cada a $\phi \in C(X)$ (donde $C(X)$ es el espacio de todas las funciones continuas en $X$), $$ \lim_{n \to \infty} \int_X \phi d\mu_n = \int_X \phi d\mu, $$ y aquí la $\mu_n$ se debe hacer el mismo trabajo de nuestra $x^{*}_n$ en nuestra definición de la débil* topología. [c. A la derecha?].
Nuevo punto de vista:
Por lo tanto, si tomamos todas estas definiciones y los usamos para obtener lo que la debilidad de la convergencia en las medidas es, en realidad, tenemos que la debilidad de la convergencia en medida es la misma como la convergencia en la topología débil. [d. A la derecha?]
De hecho, dado un espacio métrico $(X,d)$ una secuencia de medidas de $(\mu_n)$ converge débilmente a $\mu$ $\Delta (X)$ donde $\Delta (X)$ denota el conjunto de todas las medidas de probabilidad en $X$, si y sólo si para cada a $\phi \in C(X)$ (donde $C(X)$ es el espacio de todas las funciones continuas en $X$), $$ \lim_{n \to \infty} \int_X \phi d\mu_n = \int_X \phi d\mu. $$ Por lo tanto, en esta configuración, el doble par de espacios es $\langle \Delta (X) , C (X) \rangle$ y, de hecho, la definición de la debilidad de la convergencia en $\Delta (X)$ termina a ser el equivalente a dotar $\Delta (X)$ con la topología débil (y no el débil* topología!). [e. A la derecha?].
Gracias por tu tiempo y por tu ayuda!
