Demostrar que $b\mid a \implies (n^b-1)\mid (n^a-1)$

Question

Dados los números naturales $a,b,n$, prueba que $b\mid a \implies (n^b-1)\mid (n^a-1)$.

Intenté el método simple de comenzar con $b\mid a \implies \exists k \in \mathbb{N} $ tal que $bk=a$ y luego elevar $n$ a la potencia del LHS y el RHS y eventualmente formar $(n^b)^k-1=n^a-1$. Eso obviamente no es suficiente. Intenté hacerlo funcionar desde el otro lado y tampoco llegué muy lejos. Supongo que hay algún teorema $gcd$ o algo que necesito.

¿Alguna idea?

Gracias.

Answer 1

$(n^b-1) (1 + n^b + n^{2b} + \dots + n^{(k-1)b}) = n^a - 1$

Answer 2

En el fondo, es la identidad trivial $\rm\ 1^m \equiv 1.\ $ Dado que $\rm\ b\:|\:a\ $ tenemos $\rm\ a = b\ m\:,\ $ para algún $\rm\ m\in \mathbb Z.

Por lo tanto, $\rm \ mod\,\ n^b-1\!:\,\ n^b \equiv 1\ \Rightarrow\ n^a \equiv (n^b)^m\equiv 1^m \equiv 1,\ $ por lo tanto $\rm\ n^b-1\ |\ n^a - 1\:.

Alternativamente, podemos poner $\rm\ x = n^b\ $ en $\rm\ x-1\ |\ x^m - 1,\: $ por el Teorema del Factor, $\rm\ x-a\ |\ f(x)-f(a)\ $ en $\rm\ \mathbb Z[x].

Ver esta pregunta para el caso especial $\rm\ x+1\ |\ x^m+1\ $ para $\rm\:m\:$ impar (se sigue de $\rm\ x\to -x\ $ arriba).

Answer 3

Hay una identidad muy útil $$ x^n-y^n=(x-y)(x^{n-1}+x^{n-2}y+\cdots+y^{n-1}). $$ Sustituyendo $y$ con 1 aquí, obtenemos $$ n^a-1=(n-1)(n^{a-1}+n^{a-2}+\cdots+1). $$ Ahora, dado que $b|a$, existe algún $k\in\mathbb{Z}$ tal que $a=bk$. Por lo tanto, $$ n^a-1={(n^b)}^k-1=(n^b-1)((n^b)^{k-1}+(n^b)^{k-2}+\cdots+1). $$ Por lo tanto, $(n^b-1)|(n^a-1)$.

Answer 4

Yo escribo la cosa en términos de polinomios ciclotómicos:

$$n^k - 1 = \prod_{d|k} \Phi_d(n).$$

Ahora está demostrado porque los divisores de $b$ son un subconjunto de los divisores de $a$, por lo que los factores ciclotómicos de $n^b - 1$ son un subconjunto de los factores ciclotómicos de $n^a - 1$.

Answer 5

Sea $a=bk$ con $k \in \mathbb{N}$. Tenemos $n^a-1=n^{bk}-1= (n^b-1) \left( n^{b(k-1)}+n^{b(k-2)}+ \cdots + n^b+1 \right)$. Así que $n^b-1|n^a-1$.

REMARK. Este problema es muy útil. Por ejemplo: Encuentra todos los números enteros positivos $n$ tales que $n^2|2^n+1$.