Medida de Lebesgue y la caracterización de la función $\Phi$ [Rudin-Real Y Complejo]

Question

Deje $m$ ser medida de Lebesgue en $[0,1]$ y definen $||f||_p$ con respecto al $m$ como de costumbre. ¿Cuáles son todas las funciones $\Phi$ $[0, \infty)$ de manera tal que la relación

$$ \Phi( \lim_{p\to\ 0}||f||_p)= \int_{0}^{1}(\Phi\circ f)dm$$ es válido para cada acotado, medibles, positiva $f$ ?

Una sugerencia:

Demuestra en primer lugar que $$c \Phi(x)+(1-c) \Phi(1)= \Phi(x^c) \ \ (x>0, 0 \le c \le 1) \ \tag 1 $$

Yo estaba pensando en usar este $$ \lim_{p\to\ 0}||f||_p = \exp\left \{ \int_0^1 \log |f| dm\right \}$$ From here we get that $\registro de $ satisface la condición.

Entonces traté de mostrar que cualquier $\Phi$ que cumple con las condiciones de $(1)$ debe satisfacer la relación, $\Phi(xy)= \Phi(x)+ \Phi(y)$, de la que quiero concluir que $log$ es la única función.

Es mi línea de pensamiento correcto? Si no, entonces, ¿cómo debo proceder?

Answer 1

En primer lugar, no es claro a partir de tu post y en los comentarios si has visto por qué $\Phi$ debe satisfacer (1). Deje $f=x\chi_{(0,c)}+\chi_{(c,1)}$. Entonces $$\int_0^1\Phi(f)=c\Phi(x)+(1-c)\Phi(1),$$while $$||f||_p=\left(cx^p+1-c\right)^{1/p}.$$ Por lo $$\log(||f||_p)=\frac1p\log(1+c(x^p-1))\sim\frac cp\left(e^{p\log(x)}-1\right)\sim c\log(x).$$, de Manera que (1) se mantiene.

Ahora si vamos a $\Psi(s)=\Phi(e^s)-\Phi(1)$ (1) da $$c\Psi(t)=\Psi(ct)\quad(0\le c\le 1,\,t\in\Bbb R).$$Setting $t=1$ shows that $$\Psi(c)=c\Psi(1)\quad(0\le c\le 1).$$And $t=2$ shows $\Psi(2c)=2\Psi(c)$. Hence $$\Psi(c)=c\Psi(1)\quad(c\ge0).$$

La desintegración de las cosas que ahora muestra que $\Phi(t)$ es una combinación lineal de $1$$\log(t)$.

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Por el contrario, cualquier combinación lineal de $1$ $\log$ obras. Esto es bien conocido, o al menos el más conocido para mí que lo que está por encima. Las pruebas existen en diversos lugares, por ejemplo En el espacio de $L^0$ $\lim_{p \to 0} \|f\|_p$ . (Ok, todo lo que de hecho no hay una prueba de que $\Phi=\log$ obras. Pero es obvio que $\Phi=1$ obras, y que el conjunto de $\Phi$s de que el trabajo es cerrado bajo las combinaciones lineales.)