Cómo demostrar una fórmula para la suma de potencias de $2$ ¿por inducción?

Question

¿Cómo puedo demostrarlo por inducción?

Demostrar que para todo número natural n $ 2^0 + 2^1 + ... + 2^n = 2^{n+1}-1$

Aquí está mi intento.

Caso base: dejar $ n = 0$ Entonces, $2^{0+1} - 1 = 1$ Lo cual es cierto.

Paso inductivo a probar es: $ 2^{n+1} = 2^{n+2} - 1$

Nuestra hipótesis es: $2^n = 2^{n+1} -1$

Aquí es donde me estoy desviando del camino. Veamos el lado derecho de la última ecuación: $2^{n+1} -1$ Puedo reescribir esto como lo siguiente.

$2^1(2^n) - 1$ Pero, a partir de nuestra hipótesis $2^n = 2^{n+1} - 1$ Así:

$2^1(2^{n+1} -1) -1$ Aquí es donde me pierdo. Porque cuando distribuyo a través de me da esto.

$2^{n+2} -2 -1$ Esto está mal, ¿no? ¿No estoy aplicando las reglas de los exponentes correctamente? Tengo la solución así que sé que lo que estoy haciendo está mal. Aquí está la prueba correcta.

Answer 1

Una forma fácil de hacerlo es utilizando el binario. Aquí hay una idea de lo que quiero decir:

• $2^0$ en binario es $1$
• $2^1$ en binario es $10$
• $2^2$ en binario es $100$

Por regla general:

$2^n$ en binario es $100\cdots0$ (n ceros)

Si los sumas, obtienes $2^0 + 2^1 + ... + 2^n$ en binario es $11...11$ ( $n+1$ de los mismos).

Ahora es obvio que sumando 1 a eso te da $$100\cdots00 \quad\text {($ n+1 $ zeros)}$$ Que como todos sabemos es $2^{n+1}$ .

Así, $2^{n+1} - 1$ es igual a la suma de las potencias de dos hasta $2^n$ .

Answer 2

Ambos

• Paso inductivo a probar es: $ 2^{n+1} = 2^{n+2} - 1$
• Nuestra hipótesis es: $2^n = 2^{n+1} -1$

están equivocados y deben ser

• Paso inductivo a probar es: $ 2^0 + 2^1 + ... + 2^n + 2^{n+1} = 2^{n+2} - 1$
• Nuestra hipótesis es: $ 2^0 + 2^1 + ... + 2^n = 2^{n+1}-1$

Añadir $2^{n+1}$ a ambos lados de la hipótesis y tienes el paso para demostrar ya que $2^{n+1}-1 +2^{n+1} = 2^{n+2} - 1$

Answer 3

HINT $\ $ Aquí está la prueba inductiva para sumar una serie geométrica general.

TEOREMA $\rm\quad 1 + x + \cdots + x^{n-1}\ =\ \dfrac{x^{n}-1}{x-1}$

Prueba $\ $ Caso base: Es cierto para $\rm\ n = 1\:,\:$ a saber $\rm\ 1 = (x-1)/(x-1)\:$ .

Paso inductivo: Supongamos que es cierto para $\rm\ n = k\:.\ $ Entonces tenemos

$$\rm\ x^k + (x^{k-1} +\: \cdots\: + 1)\:\ =\:\ x^k +\frac{x^k-1}{x-1}\ =\ \frac{x^{k+1}-1}{x-1}$$

lo que implica que es cierto para $\rm\: n = k+1\:,\:$ completando así la prueba inductiva.

La prueba que buscas es sólo el caso especial $\rm\ x = 2\ $ .

Answer 4

No veo la respuesta que me gusta aquí, así que escribo la mía.

Prueba básica:

Deseamos demostrar $2^0 + 2^1 + ... + 2^{n-1} = 2^n - 1$ para todos $n$ . Podemos comprobar por inspección que esto es cierto para n=1. A continuación, supongamos que $2^0 + 2^1 + ... + 2^{n} = 2^{n+1} - 1$ .

$(2^0 + 2^1 + ... + 2^n) + 2^{n+1} = (2^{n+1} - 1) + 2^{n+1} = 2 \cdot 2^{n+1} - 1 = 2^{n+2} - 1$ Así pues, hemos demostrado que $2^0 + 2^1 + ... + 2^{n-1} = 2^{n} - 1$ es verdadera para todo n.

Answer 5

Dejar $S = 2^0 + 2^1 + 2^2 + .... + 2^{n-1}$

así que $2S = 2^1 + 2^2 + 2^3 + 2^n$

entonces $2S - S = S = (2^1 - 2^0) + (2^2 - 2^1) + ... + (2^{n-1} - 2^{n-1}) + 2^n = 2^n - 1$

y tenemos $2^0 + 2^1 + 2^2 + .... + 2^{n-1} = 2^n - 1$