Estoy tratando de entender a los grupos de Galois para una torre de campos

Question

Tengo lo que probablemente sea una pregunta muy fácil, pero es algo que me resulta difícil de "ver".

Gracias a la respuesta tan útil de Jyrki, tal vez pueda formular mejor mi pregunta.

Dada una torre de campos $M / L / K$ tenemos la secuencia exacta

$1 \rightarrow \operatorname {Gal}(M/L) \rightarrow \operatorname {Gal}(M/K) \rightarrow \operatorname {Gal}(L/K) \rightarrow 1$

Si conocemos los grupos $ \operatorname {Gal}(M/L)$ y $ \operatorname {Gal}(L/K)$ ¿cómo podemos recuperar todo el grupo de Galois?

Estoy particularmente interesado en cuando la secuencia exacta de arriba se divide, entonces todo el grupo galois es un producto semidirecto

$ \operatorname {Gal}(M/K) = \operatorname {Gal}(M/L) \rtimes \operatorname {Gal}(L/K)$

Si tenemos una acción de $ \operatorname {Gal}(L/K)$ en $ \operatorname {Gal}(M/L)$ por conjugación entonces podemos recuperar el producto semidirecto. Sin embargo, como el producto semidirecto puede en general determinar diferentes grupos, ¿determina esto el grupo de manera única? ¿Hay necesariamente una sola forma de definir esta acción?

En el caso general (es decir, cuando la secuencia exacta no se divide), ¿qué podemos decir de todo el grupo Galois?

Si alguien es capaz de indicarme la dirección correcta con esto, estoy seguro de que estoy olvidando algo básico, y si alguien puede darme una idea aproximada de lo que me falta en mi comprensión, se lo agradecería mucho.

Extra: He encontrado una pregunta similar aquí, Acciones de grupo en las torres de las extensiones de Galois pero tenga en cuenta que estoy interesado en las extensiones no etiquetadas así como en las abelianas. Esta pregunta dice que si $ \sigma \in \operatorname {Gal}(L/K)$ entonces dos ascensos cualesquiera de $ \sigma $ se conjugan entre sí por un elemento de $ \operatorname {Gal}(L/K)$ lo que vuelve a plantear mi pregunta inicial de por qué se conjugan dos ascensores.

Answer 1

Por favor, hágame saber si estos ejemplos son de alguna utilidad. Sólo estoy empleando algunos grupos pequeños.

Puedes construir una extensión de Galois $M/K$ cuyo grupo Galois es $S_3$ y luego si $L$ es el campo intermedio correspondiente a $A_3 \cong C_3$ (Estoy escribiendo $C_n$ para un grupo cíclico de orden $n$ ), en su secuencia tendrá que $$ \operatorname {Gal}(L/K) \cong C_2, \qquad \operatorname {Gal}(M/L) \cong C_3. $$ Pero también puedes construir una extensión de Galois $M/K$ cuyo grupo Galois es $C_6$ y luego si $L$ es el campo intermedio correspondiente a $C_3$ en su secuencia también tendrá que $$ \operatorname {Gal}(L/K) \cong C_2, \qquad \operatorname {Gal}(M/L) \cong C_3. $$ Ambas secuencias exactas se dividen, pero tienes diferentes acciones, y diferentes grupos $ \operatorname {Gal}(M/K)$ .

Puedes hacer lo mismo para los grupos $C_4$ y $V = C_2 \times C_2$ . Tomando por $L$ un subcampo correspondiente a un subgrupo de orden $2$ tenemos en ambos casos $$ \operatorname {Gal}(L/K) \cong C_2 \cong \operatorname {Gal}(M/L),$$ pero $V$ es una extensión dividida, mientras que $C_4$ no lo es.

Usando el grupo de orden de los diedros $8$ y el grupo de orden de los cuaterniones $8$ se pueden construir dos torres de tal manera que $$ \operatorname {Gal}(L/K) \cong V \qquad \operatorname {Gal}(M/L) \cong C_2,$$ aquí ambas secuencias no estarán divididas, pero los dos grupos $ \operatorname {Gal}(M/K)$ son no isomórficas.

Answer 2

Algo parece haber salido mal con la primera reclamación. Lo que es cierto es lo siguiente. Si $ \overline { \sigma }_1$ y $ \overline { \sigma }_2$ son dos extensiones de $ \sigma\in \operatorname {Gal}(L/K)$ , entonces $ \overline { \sigma }_2^{-1} \overline { \sigma }_1$ restringido a $L$ es $ \sigma ^{-1} \sigma $ es decir, la identidad, por lo que es un elemento de $ \operatorname {Gal}(M/L)$ . En otras palabras: $$ \overline { \sigma }_1= \overline { \sigma }_2 g $$ para algunos $g \in \operatorname {Gal}(M/L)$ .

Observe que los dos ascensores no siempre puede se conjuguen entre sí de la manera prescrita. Después de todo, por lo que sabemos $ \operatorname {Gal}(M/K)$ podría ser abeliana, y por lo tanto no habría dos elementos distintos que se conjugaran en $ \operatorname {Gal}(M/K)$ .

No puedo decir nada sobre la otra reclamación. Por lo menos no todavía [/Editar]

Answer 3

En abstracto, la pregunta que haces se conoce como la problema de extensión del grupo . La página de Wikipedia debería darte un buen punto de partida para seguir leyendo.