Cómo Demostrar a $\nabla ^2 \psi=0$ Si $A^{2}=(x^{2}+y^{2})\cos^{2}\psi+z^{2}\cot^{2}\psi$

Question

Asumir $$A^{2}=(x^{2}+y^{2})\cos^{2}\psi+z^{2}\cot^{2}\psi$$ which $A$ is constant. How we can show $\psi(x,y,z)$ satisfies the Laplacian equation $\psi_{xx}+\psi_{yy}+\psi_{zz}=0$ ($\operatorname{div}\nabla\psi=0$) without calculating $\psi(x,y,z)$? I calculate $\psi(x,y,z)$ sí y se diferencian, pero estoy buscando los métodos más fáciles, no Es importante el uso de lo que, sólo el tiempo que tarda es importante.

Answer 1

Sólo quiero introducir la correcta diferenciación implícita la fórmula para este problema. Si usted no quiere ir directamente hallazgo $\psi$, entonces usted debe utilizar implícita diferenciación y me acaba de dar las herramientas. Para este propósito, usted necesita un producto de la regla y también una regla de la cadena para el operador Laplaciano y también una cadena de reglas para el operador gradiente. En primer lugar, defina las siguientes funciones

$$\eqalign{ & f = f(t) \cr y g = g(x,y,z) \cr & h = h(x,y,z) \cr} $$

A continuación, las reglas que usted necesita será

$$\begin{align} {\nabla ^2}\left( {h g} \right) &= g{\nabla ^2}h + h{\nabla ^2}g + 2\nabla h \cdot \nabla g \cr {\nabla ^2}\left( {f \circ g} \right) &= \left( {f'' \circ g} \right){\left\| {\nabla g} \right\|^2} + \left( {f' \circ g} \right){\nabla ^2}g \cr \nabla \left( {f \circ g} \right) &= \left( {f' \circ g} \right)\nabla g \cr\end{align}$$

Se puede demostrar fácilmente mediante el uso del índice de la notación o algún vector de identidades. Ahora, la combinación de las relaciones anteriores mediante la sustitución de $g$ $f \circ g$ en la primera fórmula conduce a

$$\eqalign{ {\nabla ^2}\left[ {h\left( {f \circ g} \right)} \right] &= \left( {f \circ g} \right){\nabla ^2}h + h{\nabla ^2}\left( {f \circ g} \right) + 2\nabla h \cdot \nabla \left( {f \circ g} \right) \cr &= \left( {f \circ g} \right){\nabla ^2}h + h\left[ {\left( {f" \circ g} \right){{\left\| {\nabla g} \right\|}^2} + \left ( {'f \circ g} \right){\nabla ^2}g} \right] + 2\nabla h \cdot \left[ {\left ( {'f \circ g} \right)\nabla g} \right] \cr } $$

y, finalmente,

$$\boxed{{\nabla ^2}\left[ {h\left( {f \circ g} \right)} \right] = \left( {f \circ g} \right){\nabla ^2}h + h\left( {f' \circ g} \right){\nabla ^2}g + 2\left( {f' \circ g} \right)\nabla h \cdot \nabla g + h\left( {f'' \circ g} \right){\left\| {\nabla g} \right\|^2}}$$

Luego, sólo hay que aplicar el operador Laplaciano a ambos lados de

$$(x^{2}+y^{2})\cos^{2}\psi+z^{2}\cot^{2}\psi = A^{2}$$

para obtener

$${\nabla ^2}\left[ {({x^2} + {y^2}){{\cos }^2}\psi } \right] + {\nabla ^2}\left[ {{z^2}{{\cot }^2}\psi } \right] = 0$$

y hacer los cálculos para la elección adecuada de $h$, $f$, y $g$. La aritmética parece ser largo, así que toma algo de tiempo! :)