¿Cómo entender el orden topológico a temperatura finita?

Question

He oído que en 2+1D, no hay orden topológico en temperatura finita. Entropía topológica de entrelazamiento $\gamma$ es cero, excepto en la temperatura cero. Sin embargo, todavía se observan algunas características de orden topológico en el efecto Hall cuántico fraccionario, como la estadística fraccionaria, la facticidad de la simetría Entonces, ¿qué significa cuando se dice que "no hay orden topológico a temperatura finita en 2+1D"? ¿Y cuál es la situación en 3+1D?

Answer 1

Este es un punto de vista de la teoría de campo:

Un sistema con hueco tiene orden topológico si en el IR fluye a un TQFT no trivial. Podemos modelar la temperatura en la teoría de campo euclidiana utilizando un tiempo circular (imaginario). La circunferencia de este círculo es la temperatura inversa $\beta$ . Así, el límite cuando el círculo es grande es el límite de temperatura cero, y cuando el círculo es pequeño es el límite de temperatura alta.

La cuestión es, por tanto, si hay $d$ -TQFTs que se compactan a lo largo de un círculo para dar una $d-1$ -TQFT de dimensión. Esto es imposible para los TQFTs invertibles (es decir, SPT u otras fases enredadas de corto alcance), ya que son invariantes del cobordismo, y podemos rellenar el círculo siempre que no haya flujo sobre él (es decir, los potenciales químicos son todos cero). Sin embargo, algo no invertible como un $\mathbb{Z}_2$ La teoría gauge en 3+1d (código tórico 3d) puede persistir hasta una temperatura finita. De hecho, se compactará a un código 2+1d $\mathbb{Z}_2$ teoría gauge (código tórico 2d).

Una advertencia importante a este argumento es que al hablar de estas cosas tomamos todas las simetrías gauge como sacrosantas. En realidad, las fluctuaciónes térmicas destruyen el orden topológico en el código tórico 3+1d, pero este tipo de argumento asegura que ocurre en un temperatura no nula . (También el factor de dos del que hablan en la entropía de entrelazamiento topológico es la holonomía gauge alrededor del círculo térmico).

También hay que tener en cuenta que la degeneración topológica es indistinguible de la ruptura de simetría en 1+1d, por lo que no hay orden topológico en 2+1d a temperatura finita (y tamaño de sistema infinito). De lo contrario, la compactación nos daría un TQFT 1+1d no trivial. Los sistemas cuánticos fraccionarios de Hall son capaces de evitar esto al tener un tamaño finito y ser quirales.

También, si quieres, puedes pensar en el orden topológico (abeliano) (como el código tórico) como una ruptura espontánea de una simetría de 1 forma, para la cual un teorema de Mermin-Wagner impide una fase ordenada a temperatura finita en 2+1d.

Answer 2

En 2+1D, es una cuestión de escalas de tiempo. Por ejemplo, como experimento mental, considere una fase cuántica Hall fraccionada en un toro acoplado a un baño. A temperatura cero, existe una degeneración topológica que puede utilizarse para codificar información cuántica con un tiempo de vida infinito. Si el baño está a temperatura finita, se producirán procesos activados térmicamente en los que se crean cuasipartículas que se difunden por los ciclos del toro, cambiando el estado. Esto conducirá a una vida finita (decoherencia) del qubit. Pero a medida que la temperatura llega a cero, la escala de tiempo de estos procesos diverge, por lo que prácticamente el qubit puede seguir siendo detectable experimentalmente. Un razonamiento similar se aplica a la degeneración de un par de cuasipartículas no abelianas sondeadas por un experimento de trenzado, o a la cuantización de la conductancia de Hall.

Afortunadamente, la tasa de estos errores debería decaer exponencialmente con la temperatura, al menos si se dan las condiciones de equilibrio. La gran relación entre la brecha Hall cuántica (muchos Kelvin) y las temperaturas experimentales de 10s de mK explica las características de cuantificación precisa observadas hasta ahora.

Answer 3

¿Podemos decir que si la brecha de masa de las exicitaciones fraccionarias de anyon $\Delta$ son mayores que la energía térmica $E_H=k_b T$ (temperatura a $T$ ),

$$ \Delta >> E_H=k_b T $$

entonces todavía podemos observar el orden topológico a una temperatura pequeña pero finita.(?)

Answer 4

Yo definiría un hamiltoniano $H$ para ser topológicamente ordenado a una temperatura finita $T$ si su matriz de densidad térmica $\rho = e^{-H/T}/Z(T)$ está topológicamente ordenado a esa temperatura.

Esto, por supuesto, simplemente devuelve la pregunta a la cuestión de cómo definir el orden topológico para un estado mixto en lugar de puro. Como se discute en la sección 4 de esta entrada del blog La cuestión es bastante sutil y no creo que haya una definición universalmente aceptada. Una posible definición es que un estado mixto es topológicamente trivial si se puede escribir como una combinación convexa de (es decir, una distribución de probabilidad sobre) estados puros topológicamente triviales. Otra posible definición es que un estado mixto es topológicamente trivial si su purificación lo es. Físicamente, esto significa aproximadamente que todo el "universo" del sistema junto con el baño de calor al que está acoplado es topológicamente trivial. No estoy seguro de que estas dos definiciones sean equivalentes.