Es un ejercicio divertido para probar que si $G$ es finitely generado, y $|\text{Aut}(G)| = p$ para algunos prime $p$, $G$ es uno de $\Bbb Z_3, \Bbb Z_6, \Bbb Z$ o $\Bbb Z \times \Bbb Z_2$. El finitely generado es esencial (al menos, en mi prueba), ya que el final se reduce a hacer caja con la estructura teorema sobre la finitely generado abelian grupos. Pero, ¿y el caso más general?
Hay no finitely grupos generados por $G$$|\text{Aut}(G)| = p$?
Algunos inmediata comentarios: $G$ aún debe ser abelian (debido a $\text{Inn}(G)$ es cíclico iff trivial); $p$ debe ser de 2 (porque ser abelian implica $a \mapsto a^{-1}$ es un automorphism, y este mapa es una involución, por lo $2\mid p$); y $G$ debe ser indecomposable o un indecomposable veces $\Bbb Z_2$ (porque si $G = A \times B$, $\text{Aut}(G) \times \text{Aut}(G)$ es un subgrupo de $\text{Aut}(G)$; y los únicos grupos con trivial automorphism grupo son los triviales grupo y $\Bbb Z_2$; y que sólo puede pegarse una copia de $\Bbb Z_2$ en no, ya que de lo contrario hay un extra de automorphism dado por el intercambio de dos copias de $\Bbb Z_2$). Pero eso es todo lo que sé.
