Si $n = 51! +1$, a continuación, encontrar el número de números primos entre $n+1,n+2,\ldots, n+50$

Question

Si $n = 51! +1$, Entonces no encuentran de números primos entre $n+1,n+2,\ldots, n+50$

Habla, en realidad, no tengo ni idea ...

Answer 1

En primer lugar usted necesita para revisar la definición de factorial: $$m! = \prod_{i = 1}^m i = 1 \times 2 \times 3 \times \cdots \times m.$$ This means that $m!$ is divisible by 2, by 3, by 4, by every number up to $m$.

Por lo tanto, $51!$ es divisible por 2, por 3, por 4 y por cada número 51 (y algunos otros más de 51, pero usted no necesita preocuparse acerca de aquellos para este problema).

A continuación, $51! + 2$ también es divisible por 2.

$51! + 3$ también es divisible por 3.

$51! + 4$ también es divisible por 4.

Y así sucesivamente y así sucesivamente a $51! + 51$, el cual es divisible por 51.

Quizás $51! + 1$ es primo. Tal vez así es $51! + 53$. Pero entre esos dos números, hay cero de los números primos.

Answer 2

El número de $51!$ tiene como no trivial de los factores de cada número natural anterior $51$.

Por lo tanto, cualquier $51! + 2$, $51! + 3$, etc. será divisible por $2,3,4,\cdots$ respectivamente. $$n=51! + 1$$ $$n+a = 51! + (1+a) = (\frac{51!}{1+a}+1)\cdot (1+a)$$ Si $1\leq a \leq 50$ $\frac{51!}{1+a}$ es un número entero y por lo $a+1$ divide $n+a$. (y obviamente no son iguales, y $a+1\neq 1$).

Por lo tanto no existen los números primos en el rango especificado!

Answer 3

Además de Michael Hardy respuesta, que se opone a todos los de n+1 a n+50, usted también puede demostrar que n es en realidad compuesto así como también el uso del Teorema de Wilson, que dice que un número n es primo si y sólo si (n - 1)! ≡ (n-1) mod n.

Aquí, n es (51! + 1), entonces (n-1)! = 51!!. Por lo tanto, (51! + 1) es el primer fib 51!! ≡ 51! mod (51! + 1). Sin embargo, ahora que (51!+1) es, por supuesto, un factor de 51!! desde (51! + 1) < 51!!, por lo tanto es imposible que 51!! sería congruente a algo distinto de 0 modulo (51! + 1). Por lo tanto, de 51 años! + 1 también es definitivamente no es primo.

Answer 4

El desplazamiento por $1$ $51!$ puede hacer que sea un poco confuso. Para cualquier entero $2 \leq n \leq 51$, usted tendrá que $51! + n$ es divisible por $n$ porque $51!$ es divisible por $n$. Esta es una declaración equivalente a su problema. Ahora sólo tiene que mostrar $51!$ es divisible por $n$ y $n$ no es igual a $51! + n$.