Manera rigurosa para encontrar el límite de esta diferencia?

Question

Esta es una pregunta de un viejo lanzado examen.

Por la desigualdad de triángulo, $s-r<1$, así que eliminar respuestas D y E. Intuitivamente, ya que el menor ángulo entre el $1$ $r$ se fija en $110^\circ$, $s$ siempre será un poco más largo de lo $r$, así que eliminar a y C para hallar B como la respuesta correcta.

Esto es bastante informal, hay un más riguroso de la forma en la que uno podría demostrar el límite?

Answer 1

Desde el coseno de la ley,

$$s^2=1+r^2-2r\cos\alpha,$$

donde $\alpha=110^\circ$.
Podemos reescribir esto como

$$s-r=\frac{1-2r \cos\alpha}{s+r}$$

y recuerde que $\cos\alpha \lt 0$.
Como usted dice, $0 \lt s-r \lt 1$, por lo que

$$\frac{1-2r \cos\alpha}{2r+1} \lt s-r \lt \frac{1-2r \cos\alpha}{2r}.$$

La izquierda de la desigualdad se apartó de $0$ y el derecho de $1$, así que la respuesta es la B. De hecho, podemos decir

$$\frac{1/r-2 \cos\alpha}{2+1/r} \lt s-r \lt \frac{1/r-2 \cos\alpha}{2}$$

por lo que el límite es $-\cos\alpha=-\cos 110^\circ$.

Answer 2

Una respuesta cualitativa.

Al $s$ $r$ ambos tienden a infinito, manteniendo dichos elementos fijos, los lados $s$ $r$ tienden a ser paralelas, por lo que su diferencia es la proyección del tercer lado en su dirección común, dada por

$$s-r\to|1\cdot\cos\alpha|$$

Answer 3

Por el coseno de la ley, $c = \cos 110 = \frac{1+r^2-s^2}{2r}$, o $2 r c = 1 + r^2 - s^2$.

Deje $d = |c|$, lo $d > 0$. Desde $s^2 = r^2 +2rd+1$, $s = r\sqrt{1 + 2d/r + 1/r^2} =r (1+d/i + O(1/r^2)) = r + d + O(1/r)$, por lo $ s-r \to d = -\cos 110$.

Modificado ligeramente el aspecto:

$s^2 = r^2+2rd+d^2 + 1-d^2 = (r+d)^2+1-d^2$, así $s = \sqrt{(r+d)^2+1-d^2} =(r+d)\sqrt{1 + (1-d^2)/(r+d)^2} = (r+d)(1 + O(1/(i+d)^2)) = r+d + O(1/(i+d)) $.