integral dura que involucra a $\sin(x^2)$ y $\sinh^2 (x)$

Question

Me encontré con esta integral con la que no llego a nada. ¿Puede alguien sugerir un método de ataque?

$$\int_0^{\infty}\frac{\sin(\pi x^2)}{\sinh^2 (\pi x)}\mathrm dx=\frac{2-\sqrt{2}}{4}$$

He probado con series, partes imaginarias, etc., pero no he avanzado.

Muchas gracias.

Answer 1

Puede hacerse mediante la integración de contornos y el cálculo de residuos.

Un boceto: Integrar $$ f(z) = \frac{e^{i\pi z^2} e^{\pi z}}{\sinh^2 (\pi z) \cosh(\pi z)} $$ alrededor de un contorno rectangular con esquinas en $\pm R$ y $\pm R + i$ y con hendiduras semicirculares de radio $\epsilon$ para evitar los polos en $0$ y $i$ , tome las partes imaginarias y deje que $R\to\infty$ , $\epsilon\to 0^+$ .

Deberá utilizar $$ f(x)-f(x+i)=\frac{2 e^{i \pi x^2}}{\sinh^2(\pi x)} $$ junto con $$ \operatorname*{res}_{z=0} \, f(z) = \operatorname*{res}_{z=i} \, f(z) = \frac{1}{\pi} $$ (ya que cada uno de ellos contribuirá $-i \pi$ veces el residuo en el límite $\epsilon \to 0^+$ ) y $$ \operatorname*{res}_{z=i/2} \, f(z) = \frac{-1+i}{\pi\sqrt{2}}. $$

Answer 2

Aunque esta pregunta es de hace dos años, la integral se mencionó en el chat recientemente, la evalué y luego encontré esta pregunta. Dado que no existe una solución completa, aunque la sugerencia de Hans Lundmark es excelente y de naturaleza similar, publico lo que he hecho.

Contornos

Como el integrando es par, $$ \begin{align} \int_0^\infty\frac{\sin(\pi x^2)}{\sinh^2(\pi x)}\,\mathrm{d}x &=\frac12\int_{-\infty}^\infty\frac{\sin(\pi x^2)}{\sinh^2(\pi x)}\,\mathrm{d}x \end{align} $$ Definir $$ f(z)=\frac{\cos\left(\pi z^2\right)}{\sinh(2\pi z)\sinh^2(\pi z)} $$ Tenga en cuenta que porque $$ f(x\pm i) =\frac{-\cos\left(\pi x^2\right)\cosh(2\pi x)\pm i\sin\left(\pi x^2\right)\sinh(2\pi x)}{\sinh(2\pi x)\sinh^2(\pi x)}\\ $$ tenemos $$ \begin{align} \int_\gamma f(z)\,\mathrm{d}z &=\int_{-\infty}^\infty\big[f(x-i)-f(x+i)\big]\,\mathrm{d}x\\ &=-2i\int_{-\infty}^\infty\frac{\sin(\pi x^2)}{\sinh^2(\pi x)}\,\mathrm{d}x\\ &=2\pi i\times\begin{array}{}\text{the sum of the residues}\\\text{inside the contour}\end{array} \end{align} $$ donde $\gamma$ es el contorno

$\hspace{3.2cm}$

Por lo tanto, $$ \int_0^\infty\frac{\sin(\pi x^2)}{\sinh^2(\pi x)}\,\mathrm{d}x =-\frac\pi2\times\begin{array}{}\text{the sum of the residues}\\\text{inside the contour}\end{array} $$ Residuos

cerca de $0$ : $$ \begin{align} f(z) &=\frac{\cos\left(\pi z^2\right)}{\sinh(2\pi z)\sinh^2(\pi z)}\\ &=\frac{1-\frac12\pi^2z^4+O(z^8)}{2\pi z\left(1+\frac23\pi^2z^2+O(z^4)\right)\pi^2 z^2\left(1+\frac13\pi^2z^2+O(z^4)\right)}\\ &=\frac{1-\pi^2z^2}{2\pi^3z^3}+O(z)\\[10pt] &\implies\text{residue}=-\frac1{2\pi} \end{align} $$ en $\pm i/2$ Utiliza L'Hosptal : $$ \begin{align} \text{residue} &=\lim_{z\to\pm i/2}\frac{(z\mp i/2)\cos\left(\pi z^2\right)}{\sinh(2\pi z)\sinh^2(\pi z)}\\ &=\frac1{2\pi\cosh(\pm\pi i)}\frac{\cos(-\pi/4)}{\sinh^2(\pm\pi i/2)}\\ &=\frac1{2\pi\cos(\pm\pi)}\frac{\sqrt2/2}{-\sin^2(\pm\pi/2)}\\[4pt] &=\frac{\sqrt2}{4\pi} \end{align} $$ cerca de $\pm i$ : $$ \begin{align} f(z\pm i) &=\frac{-\cos\left(\pi z^2\right)\cosh(2\pi z)\pm i\sin\left(\pi z^2\right)\sinh(2\pi z)}{\sinh(2\pi z)\sinh^2(\pi z)}\\ &=\frac{-\left(1-\frac12\pi^2z^4+O(z^8)\right)\left(1+2\pi^2z^2+O(z^4)\right)+O(z^3)}{2\pi z\left(1+\frac23\pi^2z^2+O(z^4)\right)\pi^2 z^2\left(1+\frac13\pi^2z^2+O(z^4)\right)}\\ &=-\frac{1+\pi^2z^2}{2\pi^3z^3}+O(1)\\[10pt] &\implies\text{residue}=-\frac1{2\pi} \end{align} $$ Resultado

Así, $$ \begin{align} \int_0^\infty\frac{\sin(\pi x^2)}{\sinh^2(\pi x)}\,\mathrm{d}x &=-\frac\pi2\left(-\frac1{2\pi}-\frac1{2\pi}+\frac{\sqrt2}{4\pi}+\frac{\sqrt2}{4\pi}\right)\\[6pt] &=\frac{2-\sqrt2}{4} \end{align} $$

Answer 3

Yo escribiría el $\sin(x^2)$ como $(e^{ix^2}-e^{-ix^2})/2i$ y el sinh como $(e^{ x}-e^{-x})/2$ . Entonces quizá pondría el integrando en la forma de $(e^{p_1(x)}+e^{p_2(x)}+\cdots)^{-1}+(e^{p_3(x)}+e^{p_4(x)}+\cdots)^{-1}+\cdots$ donde $p_i(x)$ son polinomios con coeficientes complejos. No tengo ni idea de si eso ayuda, para ser honesto.

Otra idea sería la integración parcial después de multiplicar por 1, como: $\int\mathrm dx 1\cdot f(x)= xf(x)-\int\mathrm dx \; x\cdot f'(x)$ A veces esto ayuda a manejar un $x^2$ en el argumento de una función complicada.

Answer 4

La respuesta numérica podría obtenerse utilizando las siguientes herramientas:

1. Integración de Riemann
2. algoritmo de búsqueda de la raíz de la ecuación
3. alguna secuencia límite para el infinito que da aproximaciones cada vez mejores

La integración de Riemann es necesaria para calcular F(x). Básicamente necesitarás un algoritmo de búsqueda de raíces que funcione con funciones G : R->R, y que dé una única x como solución. Basta con mover la constante al otro lado para obtener F(x)-F(0)-c=0. con G(x)=F(x)-F(0)-c. El infinito romperá la integración de riemann, así que necesitarás una secuencia como { G(a_1)=0, G(a_2)=0, G(a_3)=0, ... } para obtener aproximaciones cada vez mejores con la secuencia a_1,a_2,a_3, ... creciente hacia el infinito. El resultado se parece entonces a la secuencia {x_1, x_2,x_3,...} que contiene los valores de x procedentes del algoritmo de búsqueda de raíces.

Pero podría haber mejores formas de resolver este problema...

EDIT: hay problemas con esta solución. A saber, el a_i es una constante, no una variable, por lo que la búsqueda de la raíz podría no ser necesaria después de todo. Todo lo que obtengo es una aproximación de 0=0.