Todos sabemos que para todos los vectores $\mathbf{a}, \mathbf{b} \in \mathbb{R^3}$ si $(a_x,a_y,a_z)^\top$ es la forma de componente de $\mathbf{a}$ y de manera similar a $(b_x, b_y, b_z)^\top$ es la forma de componente de $\mathbf{b}$, entonces, la cruz del producto puede ser evaluado por el formaldeterminante \begin{equation} \mathbf{a} \times \mathbf{b} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\ a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \end{vmatrix} \end{equation}
Sin embargo, no estoy satisfecho con este tipo de entendimiento. Creo que la fórmula es demasiado elegante para ser un mero formal, la memorización de la ayuda. Por lo que hay una generalización de la determinante, que tiene un evidente sentido geométrico, de la misma manera que el determinante puede ser interpretado en el área de factor de multiplicación de una transformación lineal?
En álgebra geométrica, se puede generalizar el determinante de la matriz mediante la cuña de producto. Si $\mathbf{a,b,c}$ son vectores en $\mathbf{R}^3$, entonces el determinante de la matriz, que tiene los vectores $\mathbf{a,b,c}$ como columnas es $|\mathbf{a} \wedge \mathbf{b} \wedge \mathbf{c}|.$ sin Embargo, la cuña de producto se define general multivectors, así que traté de evaluación de $(\mathbf{ii} + a_x\mathbf{j} + b_x\mathbf{k}) \wedge (\mathbf{ji} + a_y\mathbf{j} + b_y\mathbf{k}) \wedge (\mathbf{ki} + a_z\mathbf{j} + b_z\mathbf{k})$ a obtener, $\left(a_y b_z-a_z b_y\right) \mathbf{jk} + \left(a_y-b_z\right) \mathbf{ijk}.$ Sin embargo, el resultado no tiene ninguna conexión obvia con la cruz del producto.
