¿Cómo puedo resolver $(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)=3$

Question

Cómo resolver $$(x-1) \cdot (x-2) \cdot (x-3) \cdot (x-4) = 3$$

¿Alguna pista?

Answer 1

Mira $(x-1)(x-4)$ y $(x-2)(x-3)$ se multiplican como $(x^{2}-5x+4)$ y $x^{2}-5x+6$ . Ahora pon $t= x^{2}-5x$ y reducirla a una ecuación cuadrática.

Answer 2

Sugerencia $\ $ El LHS es una diferencia de cuadrados $\rm\:y^2\!-\!1,\:$ por lo que también lo es $\rm\:(y^2\!-\!1)-3\: =\: y^2\!-\!2^2,\:$ a saber

$\rm\qquad\ \:\! (x\!-\!1)(x\!-\!4) (x\!-\!2)(x\!-\!3)\ =\ (x^2\!-\!5x+4)(x^2\!-\!5x+6)\ =\ (x^2\!-\!5x+5)^2 \!-\! 1^2 $

$\rm\ \ \Rightarrow\ (x\!-\!1)(x\!-\!4) (x\!-\!2)(x\!-\!3)\!-\!3\ =\ (x^2\!-\!5x+5)^2 \!-\! 2^2\ =\ (x^2\!-\!5x+3)(x^2\!-\!5x+7)$

Answer 3

Supongo que las pistas ya le habrán dado la respuesta. Si no es así, aquí está la respuesta completa:

Sea y = x-2,5 (y+1,5)(y-1,5)(y+0,5)(y-0,5) = 3. por lo que $(y^2-2.25)(y^2-0.25) = 3$ . Sea $z = y^2-1.25$ . (z-1)(z+1) = 3. Por tanto, $z^2-1 = 3$ . Por lo tanto, $z^2 = 4$ .

z = -2 da $y^2 = z + 1.25 = -0.75$ . Así que $y = \pm \sqrt{0.75}i$ . Evidentemente, esto debe ser ignorado si sólo se quiere tener verdaderas raíces. $x = 2.5 + y = 2.5 \pm \sqrt{0.75}i$ .

z = 2 da $y^2 = z + 1.25 = 3.25$ . Así que $y = \pm \sqrt{3.25}$ . Evidentemente, esto debe ser ignorado si sólo se quiere tener verdaderas raíces. $x = 2.5 + y = 2.5 \pm \sqrt{3.25}$ .

Si quieres que todos los términos del producto sean positivos, entonces obvio ly $x = 2.5 + \sqrt{3.25}$ es el único que funciona. Esto es aproximadamente 4.30277564.