¿Cómo se representan los invariantes en la teoría de categorías?

Question

Estoy tratando de entender mejor cómo pensar en la invariancia en el marco de la teoría de categorías.

En algunos casos parece que hay una interpretación obvia: por ejemplo, el grupo fundamental $\pi_1$ de un espacio topológico es invariante (hasta el isomorfismo de grupo) con respecto al mapeo por homeomorfismos preservadores del punto base, que son los isomorfismos en la categoría Top- de espacios topológicos con punto base distinguido y mapas continuos que preservan el punto base. Además, $\pi_1$ puede verse como un functor de Top- a Grupo la categoría de grupos y homomorfismos. Así que aquí un invariante se codifica como un functor de una manera agradable.

¿Qué hay de los ejemplos menos obvios? He aquí algunos en los que he pensado:

1. El teorema de Gauss-Bonnet dice que la curvatura total (gaussiana) de una superficie compacta es igual a $2\pi\chi$ , donde $\chi$ es la característica de Euler. Por tanto, la curvatura total también es invariante respecto al homeomorfismo. Por supuesto, $\chi$ puede expresarse en términos de los rangos de los grupos de homología, que son a su vez funtores, por lo que esto nos da una forma de relacionar Gauss-Bonnet con las categorías y los funtores. Pero ¿es posible en el lenguaje de la teoría de categorías especificar que, más concretamente, la curvatura total es un invariante?
2. En mecánica clásica, la forma simpléctica asociada a un sistema conservativo se preserva bajo el flujo inducido por el Hamiltoniano de dicho sistema. Categóricamente, (y en realidad, de forma más general) podemos decir que la forma simpléctica se preserva mediante simplectomorfismos, que son los isomorfismos en la categoría de las variedades simplécticas. Pero no es obvio (para mí) que la forma simpléctica pueda verse como un functor.
3. Quizá sea un mal ejemplo, pero la distancia en el espacio vectorial $\mathbb{R}^n$ se conserva mediante transformaciones euclidianas, es decir, mapas en $E(n,\mathbb{R})$ . ¿Tiene este hecho una descripción mediante categorías y funtores?

Por último, nótese que en los dos primeros ejemplos, los invariantes metnionados se conservan bajo la isomorfismos de la categoría asociada. ¿Se generaliza esto? Es decir, ¿podemos construir una categoría razonable (por ejemplo, debe ser no trivial) en la que un invariante dado se preserve por isomorfismos?

Answer 1

La última pregunta podría formularse mejor: "¿podemos construir siempre una categoría razonable en la que los morfismos que preservan el invariante sean exactamente los isomorfismos?".

Y este es el proceso de localización de una categoría. No siempre funciona bien, se necesita al menos algún supuesto de conmutatividad u Ore (al igual que cuando se localizan anillos).

El ejemplo estándar que me viene a la cabeza es la categoría derivada de una categoría abeliana, que se obtiene invirtiendo formalmente los morfismos en la categoría de homotopía de complejos de cadenas que dan lugar a isomorfismos bajo los funtores de homología.

Pero, al igual que en el caso de los anillos, la localización puede convertirse en la categoría cero.

Un marco algo "mejor" para las cuestiones de localización podrían ser las categorías de modelos, pero supongo que eso depende de lo que se quiera hacer con eso.

Answer 2

Me parece que inevitablemente hay que hacer alguna categorización para responder a esta pregunta. Por ejemplo, la cardinalidad del grupo fundamental (si es finito) es un invariante topológico que no es un funtor, pero en última instancia "viene de" un funtor. El ejemplo de la característica de Euler es similar.

Los otros dos ejemplos parecen triviales. Los morfismos en cada caso están más o menos definidos por la invariancia bajo los invariantes dados, así que no estoy seguro de que esto tenga el mismo espíritu que el ejemplo del grupo fundamental.

La respuesta a tu última pregunta también es trivial, si la interpreto correctamente: especifica que los únicos morfismos de la categoría son morfismos de identidad.

Answer 3

Parece una definición perfectamente razonable. Además, admite una descripción obvia (y bastante útil) de los invariantes en términos de teoría de categorías superiores, donde las nociones de homotopía se generalizan más fácilmente. Pensemos de nuevo en la homología; es invariante de homeomorfismo, por supuesto, pero sobre todo es invariante de homotopía. Primero describimos la homotopía en el contexto de 2 categorías:

Dejemos que $C$ sea una categoría 2. Llamamos a un 1-morfismo $f:a \to b$ a $homotopy$ $equivalence$ si existe un 1-morfismo $g: b \to a$ y los 2-morfismos invertibles $\alpha : gf \to \textrm{id}_{a}$ y $\beta : fg \to \textrm{id}_{b}$ .

Entonces obtenemos la siguiente definición:

Dejemos que $C, D$ sean 2-categorías, y que $F: C \to D$ sea un 2-funtor. Decimos que $F$ es un $invariant$ si, para cualquier equivalencia de homotopía $f : a \to b$ , $F(a) = F(b)$ .

Esta definición capta más eficazmente el rasgo de invariabilidad bajo equivalencia de homotopía. Si se desea describir (vagamente) el "axioma singular", o la invariancia bajo equivalencia débil, la definición anterior puede reformularse en términos de $\infty$ -categorías.

Answer 4

Después de considerar las otras respuestas, creo que la siguiente definición es satisfactoria:

Dejemos que $F$ sea un functor de una categoría $C$ a una categoría $D$ . Decimos que $F$ es un invariante en $C$ si para cualquier isomorfismo $f:a \rightarrow b$ en $C$ , $F(a)=F(b)$ .

Se puede notar que tal definición produce invariantes obvias en cualquier categoría. En particular, si la imagen de $C$ en $F$ es una subcategoría que consiste en un único objeto y su morfismo de identidad, entonces se cumple la definición anterior (y además, es posible construir una $F$ para cualquier $D$ ). Pero no pasa nada: podemos admitir que toda categoría tiene invariantes triviales y seguir adelante.

Esta definición de invariancia capta ciertamente el importante ejemplo del grupo fundamental (con $C$ = Top -, $D$ = Grupo y $F=\pi_1$ ). En cuanto a las invariantes que "provienen de un functor": mientras haya una relación funcional entre los objetos del objetivo del functor subyacente y los valores de las invariantes derivadas, entonces puedes simplemente renombrar los objetos del objetivo según sea necesario (aunque no estoy seguro de que eso te sirva de mucho).