Necesito ayuda: Estoy pensando en este problema. Cualquier consejo será apreciado.
Arreglemos $\epsilon>0$ . ¿Existe alguna $f\in C^0([0,\pi])$ tal que:
$f\mid_{[\epsilon,\pi-\epsilon]}>0$
$f=\sum_{k=3}^\infty{a_k\cos(kx)+b_k\sin(kx)}$ ?
Gracias :)
Sí, existen estas funciones. Pongamos por ejemplo $$ f(x)=\begin{cases}\sin x & 0\le x\le\pi,\\g(x) & -\pi\le x<0,\end{cases} $$ donde $g\colon[-\pi,0]\to\mathbb{R}$ debe elegirse de manera que $f$ es continua y a trozos $C^1$ en $[-\pi,\pi]$ y $$ \int_{-\pi}^0g(x)\cos(k\,x)\,dx=-\int_0^\pi \sin x\cos(k\,x)\,dx,\quad k=0,1,2 $$ y $$ \int_{-\pi}^0g(x)\sin(k\,x)\,dx=-\int_0^\pi \sin x\sin(k\,x)\,dx,\quad k=1,2 $$
Pero el OP preguntó sobre la función de $C^{0} (\lbrack 0, \pi \rbrack)$ ... Y el tuyo es de $C^{0} (\lbrack - \pi, \pi \rbrack)$ ....
Podríamos tomar el enfoque de Julian para $[0,\pi].$ Definir $g=1$ en $[\epsilon,\pi-\epsilon].$ Entonces queremos una $h$ en $[0,\epsilon]$ tal que $h(\epsilon)=1, \int_0^\epsilon h = \epsilon-\pi/2$ y las otras dos condiciones integrales sobre $[0,\epsilon].$ Pegar $g$ a $h$ para obtener una función continua $f$ en $[0,\pi/2].$ A continuación, reflexione $f$ sobre $\pi/2$ simétricamente. El resultado $f$ entonces tiene la forma $\sum_{k>2}b_k\sin (kx).$
Para obtener un ejemplo sencillo y concreto, piense en una función $f$ ampliado en $[0,\pi]$ en una serie de Fourier sólo senoidal (basta con pensar en $f$ ampliado a $[-\pi,0]$ como función impar). Coeficientes $b_k$ de esta serie de Fourier vienen dadas por $b_k=\int_0^\pi f(x)\sin(kx)\,dx$ (aparte de un factor de normalización). Basta entonces con elegir $f$ para que $b_1=b_2=0$ . Un ejemplo fácil es el siguiente: $$ f(x)=\cases{ qx^2+(2/\epsilon-q\epsilon)x-1& if $ 0 \le x< \epsilon$\cr 1& if $\epsilon\le x \le\pi - \epsilon$\cr q(\pi-x)^2+(2/\epsilon-q\epsilon)(\pi-x)-1& if $\pi - \epsilon < x \le\pi$\cr } $$ donde $q=(1-2\sin\epsilon/\epsilon)/(2\cos\epsilon+\epsilon\sin\epsilon-2)$ . Esto es $1$ en $[\epsilon,\pi-\epsilon]$ , mientras que $f(0)=f(\pi)=-1$ y el gráfico de $f$ en un arco de parábola en los pequeños intervalos exteriores. Todo $b_k$ desaparecen incluso para $k$ , mientras que $q$ se elige de manera que $b_1=0$ .
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La expansión de Fourier de esta función parte de los terceros armónicos. Así que su producto escalar con los armónicos inferiores ( $\cos kx$ o $\sin kx$ con $0 \leqslant k \leqslant 2$ ) son cero. Al menos significa que el valor medio de $f$ en $\lbrack 0, \pi \rbrack$ es cero. Tal vez estos hechos lleven a una contradicción con otras propiedades de $f$ . Esa es la única idea que tengo ahora.