Comprobar si dos coeficientes de regresión son significativamente diferentes (en R idealmente)

Question

Si esta es una pregunta duplicada, por favor, señale el camino correcto, pero las preguntas similares que he encontrado aquí no han sido lo suficientemente parecidas. Supongamos que estimo el modelo $$Y=\alpha + \beta X + u$$

y encontrar que $\beta>0$ . Sin embargo, resulta que $X=X_1+X_2$ y sospecho que $\partial Y/\partial X_1 \ne \partial Y / \partial X_2$ y, en particular, que $\partial Y/\partial X_1 > \partial Y / \partial X_2$ . Así que estimo el modelo $$Y=\alpha + \beta_1 X_1 + \beta_2 X_2 +u$$ y encontrar pruebas significativas para $\beta_1,\beta_2>0$ . ¿Cómo puedo comprobar entonces si $\beta_1> \beta_2$ ? He considerado realizar otra regresión $$Y=\alpha +\gamma(X_1 - X_2) + u$$ Y comprobar si $\gamma>0$ . ¿Es esta la mejor manera?

Además, necesito generalizar la respuesta a muchas variables, es decir, supongamos que tenemos $$Y=\alpha + \beta^1 X^1 + \beta ^2 X^2 + \dots + \beta^nX^n + u$$ donde para cada $j=1,\dots,n$ , $X^j=X_1^j+X_2^j$ y me gustaría hacer una prueba para cada $j$ si $\partial Y/\partial X_1^j \ne \partial Y / \partial X_2^j$ .

Por cierto, estoy trabajando principalmente en R.

Answer 1

¿Es esta la mejor manera?

No, eso no hará realmente lo que quieres.

Dejemos que $\gamma = \beta_1 - \beta_2$ .

$\beta_1 X_1 + \beta_2 X_2 = (\gamma+\beta_2) X_1 + \beta_2 X_2 = \gamma X_1 + \beta_2 (X_1 + X_2)$ .

De ahí que el modelo $Y=\alpha + \beta_1 X_1 + \beta_2 X_2 +u$ se convierte en $Y=\alpha + \gamma X_1 + \beta_2 (X_1 +X_2) +u$

Así que usted suministra predictores $X_1$ y $X_3=X_1+X_2$ , y entonces se puede realizar una prueba de hipótesis directa de si $\gamma>0$ (contra la nulidad de la igualdad).