Puede una innumerable familia de positivo de la medida de conjuntos de ser tal que ningún punto pertenece a una cantidad no numerable de ellos?

Question

Yo sería feliz de saber si lo siguiente es verdadero:

Para cada innumerables familia $\Gamma$ de positiva la medida establece en un $\sigma$-finito medir el espacio, existe al menos un punto que pertenece a una cantidad no numerable de los miembros de $\Gamma$.

Y si esto es falso para general $\sigma$-finito medir los espacios, es cierto para la medida de Lebesgue?

Answer 1

Este es un contraejemplo, bajo el supuesto de CH:

Deje $\Bbb R=\{r_\alpha\mid\alpha<\omega_1\}$, y deje $A_\alpha=\{r_\beta\mid\alpha<\beta<\omega_1\}$. Todos esos son cocountable por lo tanto, ciertamente, tienen un completo [Lebesgue] medida.

Pero si $x\in\Bbb R$ $x=r_\alpha$ algunos $\alpha$ $x\notin A_\beta$ cualquier $\beta>\alpha$, por lo que sólo aparece en una contables número de los conjuntos.