Acabo de aprender lo que es el homomorfismo de transferencia y me está costando interiorizarlo. Estoy aprendiendo de 'A Course in the Theory of Groups', y esperaba que tal vez alguien tuviera una explicación más intuitiva de la transferencia para complementar la construcción del libro.
La transferencia intenta capturar la conjugación en un homomorfismo. Esto es un poco difícil de hacer por lo que la definición es un poco complicada. Doy una definición más sencilla de verificar de Kurzweil-Stelmmacher, luego la fórmula estándar del producto de conjugados y su especialización al centro y a un subgrupo de Hall.
Kurzweil-Stellmacher da una definición algo más agradable de la transferencia: Sea $H \leq G$ sea un subgrupo de índice finito en el grupo $G$ . Si $R,S$ son transversales de $H$ en $G$ definir $$(R|S) = \prod_{(r,s) \in R \times S \atop Hr = Hs} \overline{ rs^{-1} } \in H/[H,H]$$ Entonces se comprueba fácilmente que $$(R|S)^{-1} = (S|R), \quad (R|S)(S|T) = (R|T), \quad (Rg|Sg) =(R|S), \quad \text{and} \quad (Rg|R) =(Sg|S)$$ (En este momento, no podría hacer lo último en mi cabeza, pero $(Rg|R) = (Rg|Sg) (Sg|S) (S|R) = (Sg|S)$ ya que los factores externos se cancelan por las propiedades anteriores y el hecho de que $(R|S)$ vive en un grupo abeliano).
Por lo tanto, el mapa $tr:G \to H/[H,H]: g \mapsto (Rg|R)$ está bien definido (por la última propiedad) y es un homomorfismo ya que $$(Rgh|R) = (Rgh|Rh)(Rh|R) =(Rg|R)(Rh|R)$$
Para g en G consideremos las órbitas de $\langle g \rangle$ en los cosets $G/H$ . Que tengan representantes $g_i \in R$ y tamaño $n_i$ . Entonces $$tr(g) = \prod g_i g^{n_i} g_i^{-1}$$ es un producto de conjugados de $g$ . En particular, si $g \in Z(G)$ entonces todos los conjugados son iguales, por lo que $$tr(g) = g^{[G:H]}, \quad \text{if } g \in Z(G)$$ y una fórmula similar es válida si consideramos $tr(g)$ mod el subgrupo $$H^* = \langle h^{-1} h^g : h,h^g \in H, g \in G \rangle$$ ya que modulo este subgrupo, todos $G$ -conjugados son los mismos: $$tr(g) \equiv g^{[G:H]} \mod H^*, \quad \text{if } g \in H$$
En particular, si $G$ no se arremolina lo suficiente $H$ es decir, si $H^* < H$ y si $\gcd([H:H^*],[G:H])=1$ (por ejemplo, si $H$ es Hall o Sylow), entonces el mapa de transferencia se restringe a un automorfismo de $H/H^*$ y en particular $G$ tiene un subgrupo normal propio $K=\ker(tr)$ tal que $H \cap K = H^*$ . En $H$ es un Sylow $p$ -subgrupo, este $H^*$ se denomina subgrupo focal y es igual a $H \cap [G,G]$ .
Observe que $H^* \geq [H,H]$ mide cuánta conjugación (fusión) adicional $G$ causas en $H$ . La transferencia nos permite $H^*$ de nuevo en $G$ por lo que obtenemos un subgrupo normal de $G$ que de alguna manera mide la fusión en $H$ . De nuevo, esto es más útil y preciso cuando $H$ es un subgrupo Hall o Sylow de $G$ .
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
