Habiendo tenido mi primer curso de análisis real impartido a partir del Análisis I de Tao, puedo decir honestamente que, para un principiante, el libro de Tao es un gran recurso. Tao comienza desde el principio absoluto, estableciendo los postulados de Peano y luego construyendo $\mathbb{N},\mathbb{Z},\mathbb{Q}$ y $\mathbb{R}$ uno por uno. A partir de los postulados de Peano se tienen los números naturales $\mathbb{N}$ la operación de incremento y la inducción matemática. A continuación, se define la adición en términos de incrementos repetidos y se derivan sus diversas propiedades. $\mathbb{Z}$ se desarrolla como la finalización de $\mathbb{N}$ con respecto a ecuaciones como $5+a=3$ y $n+b=0$ , donde $n \in \mathbb{N}$ y sus propiedades se demuestran, ya sea en el texto o como ejercicio. $\mathbb{Q}$ se construye a partir de $\mathbb{Z}$ como su finalización con respecto a la división y de nuevo se desarrollan sus propiedades. A continuación, Tao introduce las secuencias y las secuencias de Cauchy y construye los números reales como una terminación de $\mathbb{Q}$ Aunque esto es un poco más conceptual.
Así, Tao no asume ningún conocimiento previo real de estos sistemas numéricos y sus propiedades. Tao también desarrolla toda la teoría de conjuntos necesaria a lo largo del camino. Esto me ayudó mucho más tarde a entender las secuencias, las series, las derivadas y las integrales y sus propiedades, ya que tenía una buena sensación de los sistemas numéricos sobre los que estábamos trabajando porque Tao había construido toda la maquinaria paso a paso.
En general, una gran introducción.
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Creo que "Principios del análisis matemático" de Rudin está muy bien. Sin embargo, no he leído el libro de Tao.
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Ver aquí , aquí y aquí .
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Me gusta mucho el libro de Muresan. Se basa en gran medida en los textos de Walter Rudin, pero contiene muchos resultados interesantes. books.google.it/books/about/
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Rudin (yo mismo he dado clases con él) es muy escueto. Por lo tanto, es mejor utilizarlo con un instructor, más que para la autoinstrucción.