Con sangre, sudor, y lágrimas, me las he arreglado para derivar las fórmulas $$k = \frac{||a' \times a''||}{||a'||^3}, \quad \tau = \frac{\langle a' \times a'', a''' \rangle}{||a' \times a''||^2}$$ para la curvatura y la torsión de un buen espacio normal de la curva de $a$. En general, es allí cualquier manera elegante de la prueba de tales fórmulas, o es, inevitablemente, un descerebrado de diferenciación bash y aplicación de la identidad de los productos? Supongo que estos son lo que se llama fórmulas de cálculo, por lo que no podría haber ningún significado para asignar a la derecha lados, y de ahí mi esperanza sean en vano. No obstante, gracias por cualquier consejo. Incluso sugerencias sobre cómo desechar el trabajo sería bueno -- me pasé al menos dos páginas en el antiguo y en torno a tres en el segundo.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
No debería ser "un descerebrado diferenciación bash" si usted escribe la ecuación $\alpha' = \upsilon T$ donde $\upsilon=\|\alpha'\|$, el uso de las ecuaciones de Frenet y la regla de la cadena para diferenciar dos veces. Ayuda a economizar un poco al recordar que $w\times w=0$ para cualquier vector $w$. En particular, $\alpha'\times\alpha''$ punto en el $T\times N= B$ dirección, así que usted necesitará sólo el $B$ componente de $\alpha'''$. (P.S.@Jesse Madnick, no creo que la identidad de $\|v\times w\|$ es necesario en absoluto.)
Wolfram mathworld - http://mathworld.wolfram.com/Curvature.html ofrece una fácil prueba de la primera fórmula. La segunda puede ser derivado en una forma muy similar. La idea principal es escribir los derivados de la curva en términos de la base dada por T, N y B. Esto debería simplificar los cálculos considerablemente.
