¿Por qué la ecuación de $x^2-82y^2=\pm2$ tienen soluciones en cada $\mathbb{Z}_p$, pero no en $\mathbb{Z}$?

Question

He estado trabajando en un ejercicio de H. P. F. Swinnerton-Dyer del libro, Una Breve Guía a la Teoría Algebraica de números. La pregunta es como esta:

Mostrar que $x^2-82y^2=\pm2$ tiene soluciones en cada $\mathbb{Z}_p$, pero no en $\mathbb{Z}$.¿Qué conclusión puedes sacar acerca de la $\mathbb{Q}(\sqrt{82})$?

Pensé que podría ser resuelto mediante el uso de la Hensel del lexema. Pero yo no puedo dar una respuesta.

Gracias de antemano!

Answer 1

Que no hay soluciones en $\mathbb Z$ puede ser demostrado por señalar que para cualquier solución positiva, tendríamos:

$$|x/y-\sqrt{82}| = \frac{2}{y^2(x/y+\sqrt{82})}<\frac{1}{4y^2}$$

Use esto para mostrar que $x/y$ es en la continuidad de la fracción de expansión de $\sqrt{82}$. Pero, para la continuación de la fracción de expansión, $p_n/q_n$$\sqrt{D}$, en general, $p_n^2-Dq_n^2$ es un periódico de la secuencia, y sólo tendrá que comprobar que en el primer caso al $p_n^2-Dq_n^2=\pm 1$. En este caso,que es el primer término de la continuación de la fracción de expansión de $\sqrt{82}$.

Answer 2

Esto es más una sugerencia ya que por desgracia no tengo mucho tiempo, pero creo que esto debe hacer el trabajo para impares, números primos.

Para un henselian anillo local $R$ $2\in R^*$ y residuos del campo de $k$ tenemos $R^*/R^{2*}\cong k^*/k^{2*}$.

La composición de las proyecciones \begin{equation*} R^*\twoheadrightarrow (R/\mathfrak m)^*\cong k^*\twoheadrightarrow k^*/k^{2*} \end{ecuación*} es surjective. Un elemento $a$ está en el núcleo de la composición del mapa si su imagen $x$ es un cuadrado en $k^*$, decir $x=y^2$. Pero entonces el polinomio $T^2-x\in k[T]$ factores $(T-y)(T+y)$, lo que puede ser levantados a $T^2-a=(T-b)(T+b)\in R[T]$. (Tenga en cuenta que tenemos char $k\neq 2\Leftrightarrow (T-y)$ $(T+y)$ son coprime.) Claramente $b^2=a$ $b$ es una unidad, por lo tanto $a\in R^{2*}$. Llegamos a la conclusión de que el mapa de arriba de los factores a través de un isomorfismo $R^*/R^{2*}\cong k^*/k^{2*}$.

Por lo tanto el problema puede ser reducido de $\mathbb Z_p$$\mathbb Z/p$. Hay alguna versión de la ley de la reciprocidad cuadrática debe hacer.

Answer 3

Detalle de mi comentario:

La ecuación tiene una forma equivalente $x^2y^{-2}\pm2y^{-2}=82$. Es obvio que $u^2\pm2v^2=82$ tiene soluciones integrales al $v=3$. Deje $y^{-1}\equiv v(\mod{p})$$xy^{-1}\equiv u(\mod{p})$, y se ha construido soluciones para cada número primo $p>3$.

Answer 4

En cuanto a la última parte de la pregunta, esto indica que el género principal de discriminante $328$ contiene no trivial de la clase, y, por tanto, que el número de clase de $\mathbb Q(\sqrt{82})$ es divisible por $2$.