Demostrar que $\left(1+\dfrac{x}{n}\right)^n \to e^x$ como $n \to \infty$ en un anillo normado $R$

Question

Ayer tuve una interesante discusión con uno de mis amigos (creo que es miembro de esta página, ¿estoy en lo cierto?). Afirmaba que

$$\left(1+\dfrac{x}{n}\right)^n \to e^x$$

básicamente en cualquier anillo normado $R$ (con una copia de $\mathbb{Q}$ (¿tengo razón?) como

$$n \to \infty.$$

Desgraciadamente, sólo lo demostró para anillos parcialmente ordenados, y su prueba se parecía sospechosamente a una ciertos Artículo de Wikipedia. Intenté reemplazar todo con normas, pero sólo terminé con un gran lío. Creo que me he perdido la idea clave aquí, ¿tengo razón?

También me pregunto si se pueden relajar más las condiciones, pero no creo que sea posible. ¿Estoy en lo cierto?

Answer 1

Supongamos (como hace Landscape) que estamos en un álgebra de Banach. Por el teorema del binomio, se puede escribir $$\begin{equation} \left(1+\frac{x}n\right)^n=\sum_{k=0}^\infty a_{k,n} \, ,\tag{$*$}\end{equation}$$ donde el $a_{k,n}$ vienen dadas por $$a_{k,n}=\left\{ \begin{matrix} \left(n\atop k\right) \frac{x^k}{n^k}&{\rm if}\; k\leq n\\ 0&{\rm if}\; k>n \end{matrix}\right.$$ Para cada fijo $k$ tenemos $\lim_{n\to\infty} a_{k,n}=\frac{x^k}{k!}$ porque $\left(n\atop k\right)=\frac{n(n-1)\cdots (n-k+1) }{k!}\sim\frac{n^k}{k!}$ . Además, también tenemos $\left(n\atop k\right)\leq \frac{n^k}{k!}$ para que $\Vert a_{k,n}\Vert\leq \frac{\Vert x\Vert^k}{k!}\cdot$ Desde la serie $\sum\frac{\Vert x\Vert^k}{k!}$ es convergente, podemos aplicar el "teorema de convergencia dominante para series" para que $n\to\infty$ en $(*)$ . Esto da $$\lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{x}n\right)^n=\sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k!}=e^x\, .$$