Ejemplos de forzamiento en la teoría de modelos

Question

Mi pregunta es exactamente mi título: ¿Cuáles son algunos ejemplos de forzamiento (teórico de conjuntos) en la teoría de modelos?

Llevo algún tiempo estudiando teoría de conjuntos (combinatoria) y teoría de modelos (independientemente una de otra), y quiero saber cómo se puede aplicar la primera a la segunda. La página de wikipedia sobre forzando afirma: "El forzamiento también se ha utilizado en la teoría de modelos, pero es habitual en ella definir la genericidad directamente sin mencionar el forzamiento". Lamentablemente, nunca me he encontrado con esta situación y me gustaría recibir una respuesta. ejemplo concreto .

Lo ideal sería cualquier aplicación no trivial del forzamiento a la teoría de modelos.

Gracias

Answer 1

Probablemente deberías echar un vistazo al texto de teoría de la clasificación de Shelah. Hay un montón de resultados que se basan en la hipótesis cardinal adicional, y los principios combinatorios y tiene (conjunto-teórico) forzando en el fondo para establecer la coherencia relativa. Hay lugares en los que se utiliza el forzamiento para establecer el resultado también (sin embargo, no puedo pensar en una referencia exacta excepto para decir que surge en el estudio de los modelos de tamaño $\aleph_{1}$ que son atómicos pero no primos) Este tipo de resultados también aparecen en trabajos sobre AECs (clases elementales abstratas).

Sin embargo, el artículo me confunde un poco. Existe una noción de forzamiento basada en las mismas ideas que se utiliza en la teoría de modelos que se denomina forzamiento teórico de modelos y creo que es a esto a lo que se refiere el artículo. Se debe a Abraham Robinson. Una buena fuente de información al respecto es el libro "Building models by Games" de W. Hodges.

EDIT: También preguntabas cómo aplicar la teoría combinatoria de conjuntos a la teoría de modelos. Por ejemplo, la mayoría de los argumentos en la teoría de la clasificación utilizan una gran cantidad de combinatoria teórica de conjuntos, por ejemplo, la prueba de que las teorías inestables tienen $2^{\kappa}$ modelos para cualquier $\kappa$ me viene a la mente.