Un metal (o de otro tipo, convenientemente elástico) se corta el círculo y los puntos son deslizarse arriba y abajo de un eje vertical como se muestra:
¿Cómo se describiría las curvas resultantes matemáticamente?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Este problema fue formulado por primera vez por Leonhard Euler en 1744 WPlink: "Que entre todas las curvas de la misma longitud que no sólo pasan por los puntos a y B, pero también son tangentes a las líneas rectas en estos puntos, la curva se determina en el que minimiza el valor de \begin{equation} \int_A^B \frac{ds}{R^2} \end{equation}
Se trata de un problema de cálculo de variaciones y el de Euler-Lagrange las ecuaciones WPlink permite resolver es como una ODA del tipo:
\begin{equation} \frac{dy}{dx} = \frac{a^2 - c^2 + x^2}{\sqrt{(c^2 - x^2)(2a^2 - c^2 + x^2)}} \end{equation}
El significado físico es este: el alambre de la forma que minimiza la energía total relativa a la flexión más en cada punto. Esta energía es similar a la de la primavera de energía potencial para deformaciones, pero en este caso la medida de la deformación es la curvatura $k = \frac{1}{R}$. Ya en su propuesta, la línea elástica en un principio era un círculo, me gustaría proponer la integral: \begin{equation} \int_A^B (\frac{1}{R} - k_0)^2ds \end{equation} donde $k_0$ sería la inicial de la curvatura que debe ser para el resto. Yo le pondría una constante aquí, ya que para que el círculo es la misma en cualquier punto, pero en general, si usted comienza con una diferente posición de reposo, el resto de la curvatura en cada punto se diferencian de punto a punto.
Ahora vamos a analizar las curvas, y el grupo de ellos. Si contamos de izquierda a derecha y de arriba a abajo podemos hacer los 2 grupos siguientes:
Fija los extremos de condición: Las curvas 1, 2 y 6. Estas curvas son sólo determinado por la fijación de los extremos de la curva, o las condiciones de la frontera. Esto significa que son las formas en que las curvas se toman naturalmente bajo el no hay fuerzas externas en cualquier punto de ella.
Fija los extremos + un extremo fijo ángulo de condiciones: Las curvas 3, 4 y 5. Se puede observar que 4 y 5 son el mismo. Este curvas de necesidad, aparte de los fijos de los extremos de la condición, la fijación de uno o dos de los extremos' ángulo. Una fuerza de flexión o hay algún general de la fuerza externa que actúa sobre una r más puntos de los que les haría así. Si no tienen esta condición adicional, nada les impedirá volver a caer en forma de 2 o 6.
Finalmente, aquí está una revisión de las soluciones, con una gran presentación histórica del problema: ElasticaHistory. Pero si usted realmente desea conseguir grave recomiendo Un Tratado sobre la Teoría Matemática de la Elasticidad.
