¿Hay una teoría de Morse para las secciones de paquetes o más generalmente para los mapas?

Question

Esta pregunta se le pide por mi interpretación de una pregunta por el cosmólogo Weberiano James.

De fondo

Algunos cosmólogos han sugerido el uso de la cosmológicas de la densidad de la materia oscura, que define una función de $f:M\to \mathbb{R}$ $M$ el universo espacial, con el fin de sondear la topología de $M$. (edit: Weberiano comentarios de abajo que esto no puede ser de lo que se trata! Escuchar a él... no es para mí!) La referencia original parece ser este papel por Gott et al.. Aunque el documento no lo menciona explícitamente, parece que el natural marco matemático para este proble es de la teoría de Morse.

Weberiano no está interesado únicamente en las funciones, sino también por ejemplo, campos vectoriales o más en general, las secciones de paquetes en $M$. Por lo tanto el siguiente

Pregunta

Se puede extender Morse teoría más allá de las funciones de las secciones de paquetes? o quizás a los mapas diferenciables $f: M \to X$?

Los punteros a la literatura sería la mayoría de la recepción.

Saludos.

Answer 1

Usted está pidiendo una muy clásica pregunta. A mí me parece, que en general la respuesta es No. Pero había algunas interesantes intentos (no se pudo encontrar referencies..). En algunos casos se puede demostrar que no hay "Morse teoría" para una clase de mapas, ya que satisfacen h-principio y se puede eliminar (casi todas) las singularidades.

Me formular un resultado (debido a Gromov) de una Morse-tipo de estimaciones de puntos singulares de suave asignaciones para el avión. Considere la posibilidad de un genérico suave mapa de un colector $M$ a del plano. Veamos la imagen de sus puntos singulares. Se trata de una curva tener cúspides y doble auto-intersecciones como puntos singulares sólo. Denotar por $C$ el número de sus cúspides, por $X$ un número de doble auto-intersecciones y por $Comp$ un número de componentes. A continuación, la suma de $B(M)$ de los números de Betti de $M$ está restringido por $C+2X+2Comp$.

Answer 2

Hay una construcción de la teoría de Morse para funciones con valores de círculo. Creo que es debido a Novikov (que es también donde se origina el anillo de Novikov), véase p. ej.
http://www.Maths.ed.AC.uk/~AAR/Papers/ranicki3.pdf

Answer 3

Hay algunas realmente buenas reciente trabajo de Gay y Kirby en "Morse 2-funciones", es decir, genérico mapas de $f$, de $n$-colector $X$ superficie $\Sigma$ (a la vez compacto, conectado, orientado, suave) (ver http://arxiv.org/abs/1102.0750).

En el $n=4$, $\Sigma = S^2$ caso, tienen una reconstrucción teorema (http://arxiv.org/abs/1202.3487) para la recuperación de $X$ $f$ a partir de una combinatoria diagrama de $S^2$, lo que, en particular, los registros de los valores críticos (el "Fondo gráfico"). Incluso entender lo que sucede en las familias de Morse 2-funciones, es decir, el análogo del nacimiento a la muerte se mueve.

Answer 4

Ampliación de Petya la respuesta, si quieres algo como los índices, el envío de archivos adjuntos y las cosas de que sabor la respuesta es no. Usted puede probar que no existe tal cosa en ese nivel de generalidad. Pero eso es bastante "cerca de lectura" de Morse teoría de que no se traduce a otros contextos. Si usted toma un "amplio" de la lectura de Morse teoría: clasificar el comportamiento local de "genérico" mapas entre los colectores y el estudio de las propiedades que se conservan a través de genéricos homotopies, etc, entonces lo que usted tiene es la singularidad de la teoría, el trabajo de gente como Thom y Mather se aplica. Este tipo de cosa se aplica en muchas formas, un buen ejemplo reciente que me gusta sería el papel de D. Thurston y Costantino donde se utilizan las propiedades de los mapas a partir de las 3-variedades en $\mathbb R^2$ construir de manera eficiente-nidos de 4 colectores de delimitación triangular de 3-variedades. Pero eso es sólo uno de muchos ejemplos.

Una pregunta: ¿cómo se puede esperar una Morse de la teoría de las secciones de paquetes? Usted no tiene "conjuntos de nivel" así que tal vez usted está interesado en las propiedades de los mapas? O algunas de las relaciones entre las propiedades de la sección y una propiedad global del paquete -- cosas como la de Euler características?

edit: he leído las "cartas a la naturaleza" blog vinculado. El autor dice que su motivación es "clasificar funciones"? Sería útil si el autor podría especificar qué relación de equivalencia de funciones que está considerando. Presumiblemente un objeto, como las $C^1$ norma es demasiado restrictiva?

Answer 5

Ryan: mi uso de la frase 'clasificar funciones es inexacta e imprecisa. Pero estamos en peligro de hablar del pasado de uno a otro, debido a la clasificación que yo persigo es sobre la base de diferentes procesos físicos. Esta es una física de la meta, no un matemático.

Las funciones de observación a los cosmólogos consideran son invariablemente suave. El cosmológicas de la densidad de la materia oscura es un ejemplo y el cálculo de la característica de Euler para los conjuntos de nivel de la función es una buena aplicación de Morse de la teoría de la física. La velocidad de la materia oscura líquido, que un físico podría llamar a un vector de valores de la función, es un ejemplo de un objeto al que queremos aplicar el mismo aparato, pero no está seguro de cómo proceder.

Creo que indicar que el concepto de un conjunto de nivel no está bien formada para un objeto de ese tipo? Podría usted comentar sobre la generalidad de esa declaración, teniendo en cuenta la relativa, la trivialidad de los objetos en cuestión?

También me gustaría aclarar José del fraseo. Este tipo de estudios objetivo muy mucho el estudio de las propiedades de $f$, en lugar de $M$. El estudio de la topología del Universo espacial es un excelente y muy interesante problema así! Pero el objetivo aquí es el uso de técnicas de Morse de la teoría como una forma de comprobar de qué manera los efectos físicos que alteran la forma de $f$.

Gracias por toda la ayuda hasta ahora! Espero que no hay más que discutir.