Al decir "ver", supongo que se refiere al sentido geométrico. Entonces tu pregunta entra dentro de un tema estándar del análisis geométrico complejo. Primero un poco de terminología: Un dominio doblemente conectado $R$ en la esfera de Riemann se llama dominio del anillo y si se asigna a $r < |z| < s$ como dominio canónico, entonces $\mathrm{mod}(R) = (2\pi)^{-1}\log(s/r)$ se denomina módulo de conformación o simplemente módulo del dominio del anillo. Por la forma en que lo he definido, es casi trivialmente un invariante conforme, pero no es necesario definirlo así. Existe una teoría geométrica, la teoría Ahlfors-Beurling de longitudes extremas de familias de curvas, dentro de la cual el módulo de un dominio de anillos puede definirse directa y geométricamente, sin ningún mapeo conforme preliminar sobre algún dominio canónico. Se puede demostrar que la longitud extrema es un invariante conforme, y entonces se ve rápidamente que las dos definiciones coinciden. Hay una exposición de la teoría de la longitud extrema en Invariantes conformes por Ahlfors.
No sería razonable esperar "ver" la exacto valor del módulo de un dominio anular. La frontera de un dominio anular puede ser extremadamente complicada desde el punto de vista geométrico, y cada pequeño meneo repercute en el módulo. Pero la longitud extrema produce desigualdades para el módulo a partir de datos geométricos. Citaré un único resultado de este tipo, bastante sorprendente:
Si un dominio anular $R$ no contiene ningún círculo en la esfera de Riemann que separe sus dos componentes límite, entonces $\mathrm{mod}(R) \leq 1/4$ . La constante $1/4$ está afilada. El resultado se debe a D. A. Herron, X. Y. Liu y D. Minda.
Un módulo pequeño significa un dominio anular "delgado"; si el módulo es lo suficientemente grande, el dominio anular es tan "gordo" que tiene que contener un círculo de separación.
