Número de formas de escribir $n$ como suma de Impares o números pares de Fibonacci

Question

En nuestros ejercicios de matemáticas discretas se me ocurrió la pregunta:

Demostrar que los coeficientes de $\prod_{n\geq2}{(1-x^{F_n})}=1-x-x^2+x^4+x^7+\dots$ sólo puede ser $-1,1$ o $0$ , donde $F_n$ denota el n'º número de Fibonacci.

Si queremos encontrar el coeficiente de $x^n$ debemos elegir algunos términos distintos de los productos para que $n$ se escribe como suma de algunos números de fibonacci , y como cada término está en forma de $(1-x^{F_n})$ si elegimos un número impar de ellos tendremos $-1$ y si elegimos un número par de ellas tendremos $+1$ .

Así que la pregunta es la misma que:

Demuestra que el número de formas de escribir un número natural como suma de impar número de números de fibonacci difiere a lo sumo $1$ número a partir del número de formas de escribirlo como suma de números pares de fibonacci

(Obsérvese que los números de fibonacci anotados parten de $F_2$ )
Mi enfoque utilizando la inducción es el siguiente:

Supongamos que la proposición es verdadera para todos los valores de $n<k$ lo demostraremos para $n=k$ .
Primero hay que tener en cuenta que para cada número $k$ existe $m$ para que $F_m\leq k < F_{m+1}$ . Tomamos $A=k-F_m$ . Obviamente $A<k$ por lo que por hipótesis de inducción la proposición es verdadera para $A$ Hay dos posibilidades diferentes para $A$ :
1) $A<F_{m-2}$
En este caso tenemos $k=F_m+A=F_{m-1}+F_{m-2}+A$ . Tenga en cuenta que debido a que $A<F_{m-2}$ Tenemos una correspondencia uno a uno entre las vías Impares y las vías pares y así la diferencia se mantendrá $+1,0,-1$ en función de $A$
2) $A\geq F_{m-2}$
En realidad estoy atascado aquí y no puedo encontrar una prueba similar para este caso. Agradecería cualquier ayuda.

Answer 1

Los siguientes documentos demuestran la afirmación de la OP:

• Federico Ardila presenta en Los coeficientes de una serie de potencias de Fibonacci una subdivisión inteligente del intervalo $$[F_n,F_{n+1})$$ en tres partes y demuestra que los intervalos consecutivos tienen esencialmente la misma forma. Entonces se puede utilizar una prueba de inducción bastante sencilla para finalizar la afirmación.

• Neville Robbins Particiones de Fibonacci proporcionó una prueba diferente algunos años antes.

Podría ser interesante notar, que estas pruebas no se refieren a la _Representación de Zeckendorf_ de los números naturales como suma única de diferentes números de Fibonacci no consecutivos.

Los coeficientes de este producto $$\prod_{n\geq 2}\left(1-x^{F_n}\right)$$ puede encontrarse en la OEIS como A093996 .