Me gustaría aprender puramente topológica de las caracterizaciones de la real cerrada intervalos (para justificar la existencia de la topología algebraica). En particular, dicha caracterización no debe usar los números reales. Me gustaría ver en qué sentido se $[0, 1]$ es topológicamente más importante que, por ejemplo, el conjunto de los racionales, o el complejo de la unidad de disco. Estoy especialmente interesado en por qué la unidad de intervalo es tan importante en el estudio de compacto de Hausdorff espacios (metrization, Urysohn del lema).
He llegado a la siguiente.
Comenzar con una definición de la ruta de conexión que no uso $\mathbb R$: $x_1$ y $x_2$ están conectados por un camino de $X$ si para cada Hausdorff compacto $C$$a,b\in C$, hay una continua $f\colon C\to X$ tal que $f(a)=x_1$$f(b)=x_2$. Ahora, si $X$ es un espacio de Hausdorff y distintos puntos de $x_1$ $x_2$ están conectados por un camino de $X$, entonces hay un mínimo de subespacio de $X$ que $x_1$ $x_2$ todavía están conectados por un camino, y cada subespacio es homeomórficos a $[0, 1]$.
A grandes rasgos, $([0, 1], 0, 1)$ es el mínimo bi-señaló Hausdorff espacio de tal forma que cada bi-señaló Hausdorff compacto puede ser mapeado en ella con el distinguido puntos de ser enviado a los distinguidos puntos.
Tal vez, en cierto sentido, se podría decir que el $X = [0, 1]$ es el "mínimo" espacio de Hausdorff de tal forma que cada Hausdorff compacto incrusta en $X^N$ algunos $N$, pero no sé cómo hacer esta precisión.
Mi pregunta es: ¿cuáles son los otros "natural" topológico de las caracterizaciones de $[0, 1]$?
Actualización: me han duplicado a esta pregunta en MathOverflow.
