Cómo encontrar este integral $I=\int_{0}^{+\infty}\frac{\{t\}(\{t\}-1)}{1+t^2}dx$ ?

Question

Pregunta:

dejar

$$f(t)=\int_0^t\left(\{x\}-\dfrac{1}{2}\right)dx$$ donde $\{t\}$ es la parte fraccionaria de $t$ ,

entonces encuentra este valor integral

$$I=\int_0^{+\infty}\dfrac{f(t)}{1+t^2}dt$$

Mi intento: Tengo $$f(t)=\int_0^t\left(\{t\}-\dfrac{1}{2}\right)dt=\dfrac{1}{2}\{t\}(\{t\}-1)$$

también puede ver: Cómo encontrar esta integral $\int_{0}^{x}\left(\frac{1}{2}-\{t\}\right)dt$ así que $$I=\dfrac{1}{2}\int_0^{+\infty}\dfrac{\{t\}(\{t\}-1)}{1+t^2}dt$$ así que $$\sum_{n=0}^{+\infty}\int_n^{n+1}\dfrac{\{t\}(\{t\}-1)}{1+t^2}dt=\sum_{n=1}^{\infty}\int_n^{n+1}\dfrac{(t-n)(t-n-1)}{t^2+1}dt$$ desde $$\int_n^{n+1}\dfrac{(t-n)(t-n-1)}{t^2+1}dt=\left(1-\dfrac{2n+1}{2}\ln{\dfrac{(n+1)^2+1}{n^2+1}}+(n^2+n-1)(\arctan{(n+1)}-\arctan({n})\right)$$ así que $$I=\sum_{n=0}^{\infty}\left(1-\dfrac{2n+1}{2}\ln{\dfrac{(n+1)^2+1}{n^2+1}}+(n^2+n-1)(\arctan{(n+1)}-\arctan({n}))\right)$$

y esta integral $I$ es convexo, porque $2f(t)=\{t\}(\{t\}-1)$ está acotado por lo que y $$\int_0^{+\infty}\dfrac{1}{1+t^2}dt=\dfrac{\pi}{2}$$ entonces no puedo encontrar esta suma,

¡Muchas gracias!

Answer 1

La función $$f(t):={1\over2}\{t\}(\{t\}-1)$$ es periódica con periodo $1$ y es $\ ={1\over2}(t^2-t)$ para $0\leq t\leq1$ , por lo que es continuo. Se puede desarrollar en una serie de Fourier como sigue: $$f(t)=-{1\over12}+\sum_{k=1}^\infty{1\over 2\pi^2 k^2}\>\cos(2k\pi t)\ .$$ Por lo tanto, obtenemos $$\eqalign{I&:=\int_0^\infty{f(t)\over 1+t^2}\ dt=-{1\over12}\int_0^\infty{1\over 1+t^2}\ dt +\sum_{k=1}^\infty{1\over 2\pi^2 k^2}\int_0^\infty{\cos(2k\pi t)\over 1+t^2}\ dt\cr &\ =-{\pi\over24}+\sum_{k=1}^\infty{1\over 4\pi k^2}e^{-2\pi k}\quad .\cr}$$ Aquí hemos utilizado el bien conocido integral $$\int_0^\infty{\cos(c\>t)\over 1+t^2}\ dt={\pi\over2}e^{-c}\qquad(c\geq0)\ .$$ La suma resultante no puede expresarse en términos elementales, pero es extremadamente convergente. Tomando los seis primeros términos se obtiene la aproximación numérica $$I\doteq -0.13075101809261383373\ .$$

Answer 2

Es bastante más fácil dividir la integral en partes. Dejemos que $T:=[t]$ El piso de $t$ . Tenemos:

$$\int_{0}^t\{t\}dt=T\int_0^1tdt+\int_0^{t-T}tdt=\frac{T}{2}+\frac{(t-T)^2}{2}.$$

Así que,

$$f(t)=\frac{T}{2}+\frac{(t-T)^2}{2}-\frac{t}{2}$$