Considere el campo más pequeño ordenado que contiene a R y no satisfacen la propiedad de Arquímedes. Supongo que se trata de una construcción mucho más simple que los ultrafilters y otra artillería de gran calibre utilizado en análisis no estándar. ¿Por qué no este enfoque?
Respuestas
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Para realizar trivial análisis en una extensión no estándar de $\:\mathbb R\:$ requiere mucho más que simplemente la existencia de infinitesimals. Uno necesita un poco eficientes de manera general a la transferencia (de primer orden) de las propiedades de $\:\mathbb R\:$ a la extensión no estándar. Esto se logra a través de un potente transferencia de principio en la NSA. A falta de tales, y otras propiedades esenciales tales como la saturación, uno se enfrenta a enormes obstáculos.
Uno sólo tiene que examinar los enfoques anteriores para ver ejemplos de este tipo de problemas. Por ejemplo, ver la discusión de las dificultades de la Schmieden y Laugwitz del cálculo de infinitesimals en Dauben la biografía de Abe Robinson (búsqueda de "Laugwitz" en el índice) y, de mucho mayor detalle, véase D. Spalt: Curt Schmieden No estándar en el Análisis, 2001. En definitiva, se percibe en términos de ultrapowers $\mathbb R^\mathbb N,\:$ el S&L enfoque mods fuera sólo por un Frechet filtro en $\mathbb N\:$ en lugar de un libre ultrafilter. Por lo tanto se pierde la transferencia completa de propiedades de primer orden, por ejemplo, se obtiene sólo parcialmente ordenado anillo, con cero divisores para arrancar. Sin todas las propiedades esenciales de $\mathbb R,\:$ y sin un general de transferencia de principio, uno obtiene una mucho más débil y mucho más engorroso de la teoría como en comparación con los de Robinson de la NSA.
Otro punto que merece énfasis es el papel que juega la lógica, en particular, el concepto de lenguajes formales. Uno de los principales problemas con los primeros enfoques de infinitesimals es que carecían de riguroso modelo teórico de las técnicas. Por ejemplo, sin la noción de un (de primer orden) lenguaje formal. es imposible rigurosamente el estado de las propiedades de reales de transferencia a hyperreals. Esta lógica inadecuación es una de las principales fuentes de contradicciones en los enfoques anteriores.
Abraham Robinson escribió mucho sobre estos temas. Se dice que él sabía más acerca de Leibniz que nadie. Su noble objetivo fue reivindicar de Leibniz la intuición, y para revertir las injusticias históricas hecho a él por muchas Whig de los historiadores. Ver a Abby collected papers para mucho más, y ver también Daublen la excelente biografía de Robinson.
Para una breve introducción a la ultraproduct enfoque de la NSA ver Wm. Hatcher: Cálculo es el Álgebra, AMM 1982, y Van Osdol: la Verdad con Respecto a un Ultrafilter o Cómo hacer que la Intuición Riguroso. Para una información mucho más completa introducción a ultraproducts ver a Paul Eklof. Ultraproducts para Algebraists, 1977.
Bryan Roth
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3592
La artillería pesada de la modelo-enfoque teórico de la no-estándar de análisis está haciendo mucho más que la producción de cualquier no-Arquímedes ordenó campo o incluso un no-Arquímedes ordenó campo que es elementarily equivalente a $\mathbb{R}$ (de un pedido de campo es elementarily equivalente a $\mathbb{R}$ fib es real-cerrado, por lo que a partir de cualquier no-Arquímedes ordenó campo, por ejemplo,$\mathbb{R}(t)$, y tomando el real-cierre produce un campo). Hay una elaborada maquinaria de transferencia, piezas estándar, etc. para superar el hecho de que el cálculo no funciona como queremos en cualquier no-Arquímedes ordenó campo.
Tenga en cuenta que el único (hasta un único isomorfismo!) Dedekind-completa ordenó campo es $\mathbb{R}$, por lo que cualquier otro ordenó campo no es Dedekind-completa. Más directamente, si $K$ es un no-Arquímedes ordenó campo, entonces el conjunto de enteros positivos es bordeada por encima (por cualquier infinita elemento de $K$), pero no tiene menos límite superior, por lo $K$ no es Dedekind completa. Esto significa la condena para muchos de los resultados básicos del análisis real.
Por ejemplo, para una ordenada campo $(K,\leq)$, los siguientes son equivalentes:
(i) $K$ es isomorfo a los números reales.
(ii) $K$ satisface la menor cota superior de axioma (es decir, $K$ es Dedekind completa).
(iii) Cualquier delimitada monótona secuencia en la $K$ es convergente.
(iv) (Bolzano-Weierstrass) Cada secuencia delimitada en $K$ tiene un convergentes larga.
(v) Cualquier intervalo en $K$ está conectado en el orden de la topología.
(vi) Cualquier cerrada delimitada intervalo de $[a,b]$ es compacto en el orden de la topología.
Así que, trabajando en un no-Arquímedes campo -- y no a través del modelo de la teoría de la inteligencia cuidadosamente restringir el acceso a ciertos tipos de declaraciones -- cálculo tal y como la conocemos falla dramáticamente.
sewo
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58
La construcción se vincula a la voluntad de trabajar como como va, si tu único objetivo es producir algunos no Archimedian ordenó campo. Sin embargo, el modelo de la teoría de la construcción es mucho más fuerte; esto garantizará que cada declaración formal de lo que es verdadero acerca de la norma reales es también cierto para los no-estándar de reales, mientras que reemplazar todas las constantes en la declaración con su no-estándar contrapartes. Sin eso, no podría ser difícil de transferencia de resultados entre el estándar y no estándar de los mundos.
Por ejemplo, si uno toma su sencilla construcción y está dentro de una raíz cuadrada de $-1$, el campo resultante satisface el Teorema Fundamental del Álgebra? Tendría que repetir toda la prueba de la verdadera caso, si va a través de todo. Con el pesado de calibre análisis no estándar, usted puede simplemente dice que no constante cada grado-$n$ polinomio sobre $\mathbb C$ tiene una raíz en $\mathbb C$, por lo tanto no constante cada grado-$n$ polinomio sobre $\mathbb C^*$ tiene una raíz en $\mathbb C^*$. Caso cerrado.
