Si $\sum_{n=1}^\infty\vert a_n\sin(nx)\vert$ converge, entonces $\sum_{n=1}^{\infty}\vert a_n\vert<\infty$.

Question

Supongamos $\sum_{n=1}^\infty\vert a_n\sin(nx)\vert$ converge para todos los $x$ en un conjunto de medida positiva $A$. Estoy tratando de demostrar $\sum_{n=1}^{\infty}\vert a_n\vert<\infty$.

El único resultado útil recuerdo de funciones periódicas es la de que si $f\in L^1(\mathbb{R})$ $g$ es continua en a $\mathbb{R}$ periodo $T$$\lim_{n\to\infty}\int_{\mathbb{R}}f(x)g(nx)dx=\bigg(\int_{\mathbb{R}}f(x)dx \bigg)\bigg(\frac{1}{T} \int_0^Tg(x)dx\bigg)$. Yo no pretendo que este es el mejor camino a seguir. Pero si dejamos $g(x)=\sin x$,$T=2\pi$. No estoy seguro de lo que debe definir $f$, ya que se exige para estar en $L^1(\mathbb{R})$, pero si yo tuviera un decente $f$ mi idea es escribir $A\subset\bigcup_{k=N}^M[k,k+1]$, a continuación, mostrar $\int_{l}^{l+1}\sum\vert a_n \vert<\infty$ cualquier $l\in [N,M-1]$. Otro problema potencial es que con la elección de mi $g$, $1/T\int_0^Tg=1/2\pi\int_0^{2\pi}\sin=0$.

Estoy en cualquier lugar cerca de muestra $\sum_{n=1}^{\infty}\vert a_n\vert<\infty$?

Answer 1

Deje $f(x) = \sum_{n=1}^\infty |a_n \sin(nx)|$. Por supuesto, $f$ es finito una.s. en el set $A$ de medida positiva. Por lo tanto $A = \cup_{n=1}^\infty (A\cap \{|f|\leq n\}) \cup N$ donde $N$ tiene medida cero. En particular, podemos optar $n$ tal que $B:= A \cap \{|f|<n\}$ (necesariamente finita) estrictamente positivo de la medida.

A continuación, considere la posibilidad de $$ \infty > \lambda(a B)n \geq \int_B f(x)dx = \int_B \sum_{k=1}^\infty |a_k \sin(kx)|dx $$ $$ = \sum_{k=1}^\infty|a_k|\int_B |\sin(kx)|dx \geq\inf_k\int_B|\sin(kx)|dx\cdot\sum_{k=1}^\infty|a_k| $$ así que la conclusión se siga si podemos mostrar el infimum es estrictamente positivo. Si el infimum fueron de cero, se puede elegir una estrictamente creciente secuencia $k_n\to \infty$ donde tenemos $L^1(B)$ convergencia de $\sin(k_n x)$$0$, y, por tanto, una larga en la que $\sin(k_nx) \to 0$ en casi todas partes en $B$. Sin embargo, $\limsup \sin(k_n x) =1$.e. (por ejemplo, aquí se muestra $(k_n x)$ será un.s. distribuidos de manera uniforme mod $1$) por lo que este no es el caso. Así, el resultado queda demostrado.