¿Cómo resolver esta ecuación diferencial ordinaria?

Question

Sólo estoy tratando de encontrar la solución general

$$\frac{dy}{dx} = 1 + \sqrt{1 - xy}$$

Answer 1

Aquí está la respuesta parcial. Espero que esta pregunta no Haz cerrada y alguien puede dar una mejor respuesta.

Miré a la solución numérica de valor inicial problema $$\frac{dy}{dx} = 1 + \sqrt{1-xy}, y(0) = 0$ $ la solución existe para solamente tiempo finito.

La solución debe satisfacer $$x < y < 2x$$ and these line cut the boundary $ xy = 1 $ at $(\pm 1, \pm 1), (\pm \sqrt \pm \frac{1}{\sqrt 2}, 2) $ so the interval of existence cannot be bigger than $(-1, 1) $ and no smaller than $(-1/\sqrt 2, 1/\sqrt 2). $

La solución numérica de Runge-Kutta traté de paradas en $x = 0.75128$.

Answer 2

Deje $u=\sqrt{1-xy}$ ,

A continuación, $y=\dfrac{1-u^2}{x}$

$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{u^2-1}{x^2}-\dfrac{2u}{x}\dfrac{du}{dx}$

$\therefore\dfrac{u^2-1}{x^2}-\dfrac{2u}{x}\dfrac{du}{dx}=1+u$

$\dfrac{2u}{x}\dfrac{du}{dx}=\dfrac{u^2}{x^2}-u-1-\dfrac{1}{x^2}$

$u\dfrac{du}{dx}=\dfrac{u^2}{2x}-\dfrac{xu}{2}-\dfrac{x}{2}-\dfrac{1}{2x}$

Esto pertenece a un Abel ecuación de la segunda clase.

De hecho, todos los Abel la ecuación de la segunda clase puede ser transformado en Abel ecuación de la primera clase.

Deje $u=\dfrac{1}{v}$ ,

A continuación, $\dfrac{du}{dx}=-\dfrac{1}{v^2}\dfrac{dv}{dx}$

$\therefore-\dfrac{1}{v^3}\dfrac{dv}{dx}=\dfrac{1}{2xv^2}-\dfrac{x}{2v}-\dfrac{x}{2}-\dfrac{1}{2x}$

$\dfrac{dv}{dx}=\left(\dfrac{x}{2}+\dfrac{1}{2x}\right)v^3+\dfrac{xv^2}{2}-\dfrac{v}{2x}$

Por favor, siga el método en http://www.hindawi.com/journals/ijmms/2011/387429/#sec2