¿Por qué no está definida la integral de trayectoria para trayectorias no homotópicas?

Question

Contexto

En el Efecto Aharonov Bohm Hay un solenoide que crea un campo magnético. Como el electrón no puede estar dentro del solenoide, el espacio de configuración no está simplemente conectado.

Pregunta

He leído en este documento que la integral de trayectoria se define sólo para trayectorias de la misma clase de homotopía en el espacio de configuración. Pero no veo la razón de esto. ¿Podría alguien explicarlo o dar alguna referencia?

Parece que Laidlaw, DeWitt y Schulman han hecho algún trabajo, pero no he visto ninguna prueba. Y Feynman y Hibbs no parecen mencionarlo.

Además, ¿se plantea el mismo problema en el cálculo variacional estándar cuando se aplica el principio de Hamilton?

Answer 1

El principio de superposición de estados cuánticos, o, como lo haré la suma sobre las alternativas, es válido para las partículas que pertenecen de un espacio multiconectado, de la misma manera que para las partículas que pertenecen a un espacio simplemente conectado, ya que es uno de los principios principios fundamentales de la teoría cuántica. Por otra parte, lo que hay que explicar mejor explicar mejor es por qué la suma sobre las alternativas, o en este caso caso, sobre las trayectorias, en un espacio simplemente conectado puede construirse como solo integral del camino, a diferencia de los espacios de conexión múltiple.

En primer lugar, comenzaré con un argumento intuitivo. Sea $X$ sea un espacio topológico "agradable (nos referimos, por ejemplo, a que $X$ está conectada por arcos o localmente simplemente conectado), $a,b\in X$ , $\Omega(a,b)$ el conjunto de caminos $[t_{a},t_{b}]\longrightarrow X$ de $a$ a $b$ y $t_{b}>t_{a}>0$ . A cada $x(t)\in\Omega(a,b)$ asociamos una amplitud $\phi[x(t)]$ . Recordemos que, heurísticamente, escribimos la siguiente relación proporcional para el propagador $K=K(b,t_{b};a,t_{a})$ ,

$$ K\sim\sum_{x(t)\in\Omega(a,b)}\phi[x(t)]. $$

Si $S$ es la acción que rige la dinámica de nuestro sistema y si $t_{b}-t_{a}$ es lo suficientemente pequeño, sabemos que $\phi[x(t)]\sim e^{iS[x(t)]}$ (donde hemos asumido $h=2\pi$ ). Pero no hay a priori razón, sin evocar ninguna propiedad de $X$ para garantizar que todas las vías contribuyan a $K$ con la misma fase. Por ejemplo, si $x(t),y(t)\in\Omega(a,b)$ por qué no podemos tener

$$ K\sim e^{iS[x(t)]}-e^{iS[y(t)]}+...\,\,\,? $$

Resulta que si nuestro espacio topológico $X$ es de conexión simple, siempre podemos deformar la trayectoria $x(t)$ a $y(t)$ de forma continua, una deformación que, en efecto, debería hacer $\phi[x(t)]$ acercarse a $\phi[y(t)]$ continuamente también. Formalmente, $$ \phi[y(t)]=\lim\phi[x(t)]=e^{iS[y(t)]},\,\,\,\mbox{as }x(t)\rightarrow y(t)\mbox{ continuously.} $$ De esto, podemos concluir dos cosas:

• Las trayectorias en un espacio simplemente conectado contribuyen a la amplitud total con la misma fase. Por lo tanto, si $X$ es simplemente conectado, podemos entonces escribir la conocida expresión $$ K\sim\sum_{x(t)\in\Omega(a,b)}e^{iS[x(t)]}, $$ que, al introducir la medida apropiada, da como resultado la de Feynman $$ K=\int_{\Omega(a,b)}e^{iS[x(t)]}\mathcal{D}x(t). $$
• Las trayectorias de la misma clase de homotopía contribuyen a la amplitud total con la misma fase. Así, para el propagador $K^{q}$ restringido a caminos restringidos en la clase de homotopía $q$ podemos escribir de forma similar $$ K^{q}\sim\sum_{x(t)\in q}e^{iS[x(t)]}, $$ que también se convierte en una integral de trayectoria $$ K^{q}=\int_{q}e^{iS[x(t)]}\mathcal{D}x(t), $$ pero cuyo dominio de integración funcional es ahora $q$ . Cada uno de estos $K^{q}$ se llama amplitud parcial.

Como el principio de la suma sobre las alternativas nos permite escribir el propagador $K$ como la suma de las amplitudes de cada homotopía clase $q$ individualmente (es decir, las amplitudes parciales), cada una contribuyendo con una fase que será etiquetada por $\xi_{q}\in\mathbb{C},|\xi_{q}|=1$ , tenemos que $$ K=\sum_{q\in\pi(a,b)}\xi_{q}K^{q}, $$ donde $\pi(a,b)$ es el conjunto de todas las clases de homotopía para los caminos de $a$ a $b$ . Esto responde a la pregunta planteada por jinawee, espero.

Pero ahora, será instructivo si esbozamos la prueba de ese resultado descubierto primero por Schulman y probado un poco más tarde por Laidlaw y DeWitt. A saber, que el conjunto de fases $\{\xi_{q}\}$ puede ser "identificado" con una representación escalar unitaria del grupo fundamental de $X$ . La idea es la siguiente. Sea $c\in X$ fija y elige $C(x)$ para ser cualquier camino que conecte $c$ a cualquier $x\in X$ . Tal $C(\alpha)$ se conoce como malla de homotopía . A cada par $(a,b)\in X\times X$ , podemos construir un mapeo

$$ f_{ab}:\pi(c)\longrightarrow\pi(a,b) $$

por $f_{ab}(\alpha)=[C^{-1}(a)]\alpha[C(b)]$ . Se trata de una inyección entre el grupo fundamental $\pi\equiv\pi(c)$ en $c$ y la homotopía clase $\pi(a,b)$ lo que nos permite etiquetar el propagador $K^{q}$ y el factor de fase $\xi_{q}$ asociado a una clase de homotopía $q$ con los elementos del grupo fundamental $\pi$ digamos,

$$ K^{q}\rightarrow K^{\alpha},\,\,\,\xi_{q}\rightarrow\xi(\alpha) $$

si $f_{ab}(\alpha)=q$ . Así que, finalmente, nuestro propagador asume la forma de una suma sobre los elementos de un grupo :

$$ K=\sum_{\alpha\in\pi}\xi(\alpha)K^{\alpha}. $$

De esta consideración se desprende el resultado: la asociación $\alpha\mapsto K^{\alpha}$ de una amplitud parcial $K^{\alpha}$ a cada elemento $\alpha$ de el grupo $\pi$ depende de la inyección $f_{ab}$ que a su vez, depende de la elección de la función de malla $C$$ (x) $. The (absolute value) of the propagator $ K$, sin embargo, debe ser el mismo independientemente de la función de malla adoptada.

El mejor lugar para encontrar los detalles de la prueba sigue siendo el documento "Integrales funcionales de Feynman para sistemas de partículas indistinguibles" (1971) de Laidlaw y DeWitt.

Además hay otra forma de motivar la fórmula del propagador $K$ como una suma sobre las amplitudes parciales asociadas a las clases de homotopía, que se basa en un espacio de cobertura de $X$ . De hecho, este fue uno de los los razonamientos originales empleados por Schulman en "A Path Integral para el espín" (1968) para discutir el espín de una partícula (cuántica) no relativista no relativista utilizando exclusivamente el método de integración de trayectorias.

A grandes rasgos, es así. Dejemos que $\mathbf{X}$ sea el espacio de cobertura de $X$ y $\mathrm{p}:\mathbf{X}\longrightarrow X$ la proyección de cobertura. Además, dejemos que $\mathcal{L}$ sea el Lagrangiano de nuestro sistema en $X$ , para lo cual $S=\int\mathcal{L}dt$ , $\mathbf{L}$ la elevación de $\mathcal{L}$ a nuestro espacio de cobertura $\mathbf{X}$ inducido por la proyección $\mathrm{p}$ y $\mathbf{S}=\int\mathbf{L}dt$ la acción sobre $\mathbf{X}$ . Para cada par $(a,b)\in X\times X$ , elija algunos $\mathbf{a}\in\mathrm{p}^{-1}(a)$ y que $\mathbf{b}_{\alpha}\in\mathrm{p}^{-1}(b)$ definir una secuencia en $\mathbf{X}$ indexado por los elementos del grupo fundamental, es decir, $\alpha\in\pi$ .

Como el espacio de cobertura es de conexión simple, a cada $\alpha\in\pi$ , el propagador $K^{\alpha}$ asociado a la amplitud para ir de $\mathbf{a}$ a $\mathbf{b}_{\alpha}$ en el intervalo $[t_{a},t_{b}]$ en $\mathbf{X}$ viene dada, como es sabido, por la integral de trayectoria

$$ K^{\alpha}=\int_{\mathbf{a}}^{\mathbf{b}_{\alpha}}e^{i\mathbf{S}[\mathbf{x}(t)]}\mathcal{D}[\mathbf{x}(t)], $$

donde en este caso, la integral funcional recorre los caminos $\mathbf{x}(t):[t_{a},t_{b}]\longrightarrow\mathbf{X}$ conectando $\mathbf{a}$ a $\mathbf{b}_{\alpha}$ .

Finalmente, por el principio de la suma sobre las alternativas, el propagador $K$ para la amplitud de pasar de $a$ a $b$ en el intervalo de tiempo $[t_{a},t_{b}]$ en nuestro espacio multi-conectado $X$ parece ser la suma sobre las alternativas para pasar de $\mathbf{a}$ a $\mathbf{b}_{\alpha}$ para todos $\alpha\in\pi$ en la cubierta $\mathbf{X}$ . En efecto, obtendremos de nuevo $K=\sum_{\alpha\in\pi}\xi(\alpha)K^{\alpha}$ para algunos factores de fase $\xi(\alpha)\in\mathbb{C}$ .

Una prueba del resultado encontrado por Schulman, Laidlaw y DeWitt descrito arriba, utilizando el último enfoque de los espacios de cobertura, se puede encontrar en el artículo "Quantum mechanics and field theory on multiply connected y en espacios homogéneos" (1972) de Dowker. Creo que las mejores fuentes para aprender el tema siguen siendo los trabajos originales citados citados anteriormente (y que puedo enviar a petición). Además, si se tiene acceso a una biblioteca universitaria, es oportuno dar un vistazo a el capítulo 8 de "Integración funcional: Acción y Simetrías" de Cartier y DeWitt.

Answer 2

TL;DR: La integral de la trayectoria de Feynman/ kernel /amplitud $K(x_f,x_i)$ es en general una suma ponderada sobre TODOS los caminos (no necesariamente homotópicos), como escribe el usuario Heidar en un comentario más arriba.

Con más detalle: Sea dado un punto inicial $x_i$ un último punto $x_f$ y un punto de referencia $\ast$ . Fijar dos caminos $\gamma_i: x_i\to \ast$ y $\gamma_f:\ast \to x_i$ . Es natural suponer que la integral de trayectoria completa es de la forma $$K(x_f,x_i) ~=~ \sum_{\gamma\in \pi^1(X, \ast)} \chi(\gamma)~ K^{\gamma}(x_f,x_i),$$ donde $\chi(\gamma)\in\mathbb{C}$ es algún peso. En este caso, la integral parcial de la trayectoria $K^{\gamma}(x_f,x_i)$ consiste en todos los caminos $x_i\to x_f$ en la clase de homotopía $[\gamma_i+\gamma+\gamma_f]$ . De este modo, hemos contado formalmente cada camino exactamente una vez.

Por coherencia, resulta que $\chi$ debe ser una representación unitaria unidimensional del grupo fundamental $\pi^1(X, \ast)$ utilizando conocidas propiedades de grupo y de probabilidad de la integral de trayectoria, cf. el teorema de la Ref. 1. El resultado es que hemos reducido la integral de trayectoria completa $K(x_f,x_i)$ a una suma ponderada de integrales parciales de trayectoria $K^{\gamma}(x_f,x_i)$ cuyos caminos están todos dentro de la misma clase de homotopía. Pero todavía tenemos que definir/calcular la suma ponderada $K^{\gamma}(x_f,x_i)$ de caminos dentro de cada clase de homotopía.

Referencias:

1. M.G.G. Laidlaw y C.M. DeWitt, Phys. Rev. D3 (1971) 1375 .