¿Son estos dos espacios de Banach isomórficos?

Question

Dejemos que $c$ denotan el espacio de las secuencias convergentes en $\mathbb C$ , $c_0\subset c$ sea el espacio de todas las secuencias que convergen a $0$ . Dada la métrica uniforme, ambos pueden convertirse en espacios de Banach. Se puede demostrar que los espacios duales de ellos son isométricamente isomorfos, es decir $c^*\cong c_0^*$ . Son $c$ y $c_0$ ¿Isomorfo isométrico? Si no, ¿cómo se puede demostrar la ausencia de tal isomorfismo isométrico? Gracias.

Answer 1

La bola unitaria cerrada de $c_0$ no tiene puntos extremos. La bola unitaria cerrada de $c$ tiene muchos puntos extremos, como $(1,1,\ldots)$ . Ya que la propiedad de ser un punto extremo es preservada por las isometrías, $c$ y $c_0$ no son isomórficos.