Paquete de obstrucción para espacios con estructura de Kuranishi

Question

En la vista de topología simpléctica en Gromov-Witten-Invariantes algunos autores utilizan lo que ellos llaman un Kuranishi estructura en los módulos de la estabilidad de los mapas. Estos fueron introducidos por Fukaya y Ono, y también son utilizados en su gran libro sobre Fukaya categorías.También se utilizan mucho en los últimos trabajos de Joyce.

La característica clave de la Kuranishi estructura es que hay localmente existe un homeomorphism o un diffeomorphism, dependiendo de si usted sigue Fukaya o Joyce, a una puesta a cero de una sección de la "obstrucción a liar".

En la geometría algebraica lado también hay algo que implican el plazo de la obstrucción, es decir, la perfecta obstrucción de la teoría en el espacio de moduli de mapas. Esta es una de morfismos [E_-1 -> E₀] -> L_X, donde L es la cotangente complejo.

Aquí está mi pregunta: ¿A qué obstrucción paquete en la topología simpléctica lado se corresponden en el algebraicas lado?

Hay tres candidatos que puedo pensar:

• E_-1

• el núcleo de la E_-1 -> E₀

• a lo que el núcleo de la E_-1 -> E₀ mapas surjectively, en su mayoría llamado el T²

La definición de la obstrucción paquete en el simpléctica lado es un finito dimensionales supspace de la cokernel de la linealizado operador de la pseudoholomorphic curva de ecuación, p.978 de Fukaya-Ono:"la Conjetura de Arnold y Gromov Witten Invariante." Como die hard algebraicas aparejador, que es sólo difícil de digerir...

Answer 1

He aquí una vista de la simpléctica lado del puente.

El Kuranishi modelo (ver Donaldson-Kronheimer, La geometría de cuatro colectores, ch. 4) va como esta. Estás interesado en un (módulos) de espacio de $M$ corte como $\psi^{-1}(0)$, para algunos liso, pero no lineal mapa de los espacios de Banach, $\psi \colon (E,0) \to (F,0)$ tal que $\delta:=D_0\psi$ es un operador de Fredholm finito (dim kernel y cokernel). Eso significa que $\delta$ es "casi" un isomorfismo, y Kuranishi del principio es que se puede construir un no-lineal mapa de $\kappa \colon \ker(\delta) \to \mathrm{coker}(\delta)$, de tal manera que $\kappa(0)=0$$D_0 \kappa =0$, y (localmente cerca de $0$) homeomorphism $M \to \kappa^{-1}(0)$. Esto le da un finito-dimensional modelo de $M$. "Kuranishi estructuras" son un formalismo en el que uno puede decir que $M$ está en todas partes-localmente dado como los ceros de mapas como $\kappa$.

En el caso de género 0 GW teoría, $M$ es el espacio de moduli de (digamos) parametrizadas pseudo-holomorphic mapas de $S^2$ a casi un complejo colector de $X$; $\psi$ es una no lineal de Cauchy-Riemann operador, y, por un pseudo-holomorphic mapa $u\in M$, $D_u \psi$ es un linealizado C-R el operador de la $(0,1)$-parte de una derivada covariante que actúan sobre las secciones de $u^\ast TX$. Su núcleo puede ser identificado con el holomorphic secciones $H^0(S^2,u^\ast TX)$ de la holomorphic estructura en el vector paquete de $u^\ast TX$ definido por la C-R operador. Su cokernel es isomorfo a $H^1(S^2,u^\ast TX)$. Si usted es afortunado, usted tiene un Zariski liso espacio de moduli $M$ cuyo Zariski el espacio de la tangente en$u$$\ker D_u\psi$. En este caso, uno podría tener $\kappa=0$, y luego los espacios de $\mathrm{coker} (D_u\psi)$ forma un vector paquete de $Obs \to M$, que es lo que simpléctica los geómetras se suele llamar la obstrucción del paquete. Ahora uno puede intentar dividir todo por $Aut(S^2)$, y muy posiblemente entrar en orbi-matemáticas.

En la integrable caso, aún con los no-singular, pero el exceso de dimensiones $M$, podría escribir $Obs$ $R^1\pi_* \Phi^*T_X$ donde $T_X$ es el holomorphic tangente gavilla, $\Phi$ la evaluación del mapa de $\mathbb{P}^1\times M \to X$, e $\pi$ la proyección de a $M$. En este punto, si lo que yo he dicho es exacta, y otros algebraica de los geómetras ahí están en mejor posición que yo para responder a su pregunta. Es su $(E_{-1})^\vee$?

Por supuesto, usted realmente no quiere asumir $M$ liso. Un lugar donde estas deformación teorías se comparan en la generalidad es Siebert de 1998 de papel Algebraicas y simpléctica Gromov-Witten invariantes coinciden.

Answer 2

Por cierto, la noción de Kuranishi estructura es un intento de formalizar las ideas que se habían utilizado en la teoría de gauge de la literatura algo eariler. Véase, por ejemplo, Friedman y Morgan el libro de Lisa Cuatro Colectores y Superficies Complejas. En que libro de la obstrucción paquete idea es utilizado en la definición de las Donaldson invariantes. La obstrucción de paquete de la idea para el estudio no lineal de la PDE problemas por supuesto, va de nuevo al menos a Kuranshi. Taubes usa esta idea para el estudio de soluciones a la de Yang-Mills ecuaciones cerca de burbujas en el 1982 papel "Auto-dual de Yang-Mills conexiones no-auto-dual de 4-variedades" en la forma en que llevan a que el uso moderno.