Mapas entre K grupos inducidos por el homomorfismo de anillos

Question

Deje $f: R\to S$ ser un mapa entre dos conmutativa Noetherian anillos. Deje $G_0(R)=K_0(mod R)$ ser el grupo de Grothendieck de finito generado los módulos a través de $R$. Esto significa $G_0(R)$ es el cociente de la libre abelian grupo en todos los isomorfismo clase de finitely módulos generados sobre $R$ por el subgrupo generado por las relaciones que viene de corto exacta de las secuencias.

Si $fd_RS<\infty$, se puede definir un mapa de $f^*:G_0(R)\to G_0(S)$ por: $$f^*([M]) = \sum_{i\geq0} (-1)^i [Tor_R^i(M,S)] $$

(para la referencia, véase la Sección 7, Capítulo 2 de Weibel, el libro de K-teoría.

Ahora, si $R$ no es regular o $S$ no es un completo intersección en $R$, luego de haber finito dimensión plana es algo milagroso condición. Así que mi pregunta es: ¿Puede un mapa de $f^*$ ser definida en un sentido más general de la situación que para finito de dimensión plana mapas?

EDIT: permítame explicar un poco el porque de algunas interesantes respuestas y comentarios de abajo (especialmente Clark respuesta). La principal motivación que tengo en mente es el caso de $R$ ser una hipersuperficie. A continuación, la mayoría de las $R$- módulos tienen infinitas resoluciones, pero es bien sabido que su resolución es finalmente periódico. Así que, aunque no son homologically finito, los módulos pueden ser homologically describe con finito de datos (es decir, número finito de matrices).

El hecho anterior es crucial en muchos de los resultados que yo sé acerca de hypersurfaces. Por un azar de ejemplo reciente, consulte aquí. En particular, en esta situación se puede definir( al menos al $S$ es finito $R$-módulo):

$$f^*([M])= [Tor^{2n}(M,S)] - [Tor^{2n-1}(M,S)]$$

para suficientemente grande $n$.

Así que esa es una de las razones por las que me pregunto si hay más sistemática mapa se puede definir.

Answer 1

Probablemente no por $G$-teoría, por desgracia. Que $G_0$ es un contravariante de morfismos de esquemas que son mundialmente finito de Tor-la dimensión, el SGA VI, Exp. IV, 2.12. La instrucción correspondiente para la $G$-teoría de los espectros es en Thomason-Trobaugh, 3.14.1.

En efecto, dado un morfismos de esquemas $f:X\to Y$, quiere mostrar que la inducida por el functor $f^{\star}$ en las categorías de módulos da lugar a un functor entre el ∞-categorías de cohomologically delimitada psuedocoherent complejos de $\mathcal{O}$-módulos. La preservación de pseudocoherence es automático, pero la declaración de que $f^{\star}E$ es cohomologially delimitada al $E$ es equivalente a la afirmación de que $f$ a nivel mundial es de finito de Tor-dimension [SGA VI, Exp. III, Pr. 3.3].

Esto no acaba de mostrar que no hay manera de producir un retroceso mapa en $G$-teoría de tipos más generales de morfismos, pero sí dejar claro que no puede ser inducida por la functoriality de la ∞-categorías de los complejos de los módulos.

Answer 2

Mi pensamiento inicial fue a trabajar con algo como el grupo de Grothendieck o módulos, pero en su lugar utilice una versión del grupo de Grothendieck de la categoría derivada (mi primera búsqueda en Mathscinet dio vuelta encima de un papel de 1969 en Bucur), procedencia de los triángulos en lugar de secuencias exactas cortas tus relaciones. A continuación, el mapa podría ser derivada tensorial con S. Estoy un poco oxidado con la categoría derivada, así que no estoy seguro si esto respetaría las relaciones, sin embargo.