Resolver el ecuación diofántica del $y^{2}=x^{3}-2$

Question

Se sabe que la ecuación de diophantine $y^{2}=x^{3}-2$ sólo tiene un número entero positivo de solución de $(x,y)=(3,5)$. La prueba de ello puede verse en el libro "Acerca de la Ecuación Indeterminada (en Chino, por Ke Zhao y Sun Qi)". Pero el método que he conocido de la solución de este problema es la teoría algebraica de números.

Mi pregunta: ¿existe una escuela primaria método para resolver la ecuación de diophantine $y^{2}=x^{3}-2$?

He conseguido un método de primaria por la suposición de que el "$x$" es una de las principales. Es decir, podemos obtener una conclusión a partir de la ecuación que $3|x$. Desde $x$ es un primer obtenemos la única solución de $(x,y)=(3,5)$. Pero si $x$ no es un número primo, la respuesta parece ser difícil.

Gracias por su ayuda.

Answer 1

La clave es este factor $\mathbf{Z}[\sqrt{-2}]$ $(y-\sqrt{-2})(y+\sqrt{-2})=x^3$. % Mod $8$no es demasiado difícil ver que $x$ y $y$ debe ser impar y que $\gcd((y-\sqrt{-2}),(y+\sqrt{-2}))=1$; otra cosa cada divisor tendría una norma incluso, contradicción.

Por lo tanto, puesto que $\mathbf{Z}[\sqrt{-2}]$ es una UFD y puesto que las únicas unidades $\pm 1$, cada factor debe ser un cubo. Así podemos escribir $$(y+\sqrt{-2})=(a+b\sqrt{-2})^3=(a^3-6ab^2)+(3a^2b-2b^4)\sqrt{-2}$$ Then, $y = a ^ 3-6ab ^ 2 $ and $1 = 3a ^ 2b-2b ^ 3 = b (3a ^ 2-2b ^ 2) $. From the two equations it is clear that $b=\pm 1\implies un = \pm 1 $, so the only possible solutions are $(x,y) = (3, \pm 5) $.

Answer 2

Tuve la misma pregunta hace muchos años y trató de encontrar una solución porque en algún lugar se menciona que es posible solucionar el problema con los '' métodos de Fermatian''
Busque más detalles aquí http://mathoverflow.net/questions/142220/fermats-proof-for-x3-y2-2

Answer 3

Se trata de una curva de Mordell, $n=-2$. De este hecho solo sabes que hay finito muchas soluciones del número entero.

Hay una tabla de datos para varios $n$; aquí tienes la información, que ya sabes, que hay una única solución en números enteros positivos. No sé de cualquier forma elemental de la prueba de este hecho.