¿Puede $T$, $T+A$, y $T+\neg A$ todos tienen resistencias de diversa consistencia?

Question

Deje $T$ ser una constante de la teoría, y deje $A$ ser una declaración en el mismo idioma. Considerar las tres teorías

• $T$
• $T+A$
• $T+\neg A$

Es posible que ellos sean pares distintos en cuanto a la consistencia de la fuerza?

Como seguimiento, es posible que $T+A$ $T+\neg A$ a ser incomparable en la consistencia de la fuerza? (Claramente que ambos son más fuertes que $T$, por lo que , a fortiori, esto significaría que los tres consistencia fortalezas son distintos.)

Estoy interesado principalmente en las teorías clásicas, finitary la lógica de primer orden, pero si se hace una diferencia a considerar otras lógicas, me iba a encontrar interesante.

Si $T+A$ es inconsistente, entonces a $\neg A$ es comprobable en $T$, lo $T+\neg A$ $T$ son sin duda equiconsistent; del mismo modo, si $T+\neg A$ es inconsistente, entonces a $T$ $T+A$ son equiconsistent. Así que la pregunta sólo es interesante si todas las teorías involucradas son consistentes.

Esta pregunta está motivada por el hecho de que normalmente si $T$ es ZFC y $A$ es un gran cardenal hipótesis, a continuación, $T+\neg A$ es modelada por una subestructura de cualquier modelo de $T$ ("cortar el universo" en un inaccesible), por lo que el $T$ $T+\neg A$ son equiconsistent.

Answer 1

Puede construir estas oraciones vía Teorema de punto fijo; es decir existe $\phi$ tal que ambos $Con(ZFC + \phi)$, $Con(ZFC + \neg \phi)$ indemostrable en $ZFC + Con(ZFC)$. Tal $\phi$ es lo que se llama una oración de doble salto. Una referencia para esto es P. Lindstrom, aspectos de incompletitud, 2003.

Answer 2

Aquí, es algo que podría ser vale la pena destacar.

Es imposible que ambos $A$ $\lnot A$ puedes probar algo como $\operatorname{Con}\sf (ZFC)$. Supongamos que eran, dado cualquier modelo de $\sf ZFC$ $A$ sostiene que hay o $\lnot A$ mantiene allí. En cualquier caso, debe ser que $\operatorname{Con}\sf (ZFC)$ debe ocupar en ese modelo; de modo que por el teorema de completitud $\sf ZFC$ debe probar su propia consistencia.

Así, se plantea la pregunta, ¿qué significa tener consistencia diferente fortalezas? Por supuesto que $\sf ZFC$ debe tener el más débil consistencia de la fuerza de los tres; por lo que podemos esperar tanto $\mathsf{ZFC}+A$ $\mathsf{ZFC}+\lnot A$ a probar $\operatorname{Con}\sf (ZFC)$, ya que debe ser estrictamente más fuerte.

Pero como en la anterior muestra, es imposible para ellos para demostrar que. Así, mientras que esto no es exactamente un argumento, mientras que tales $A$ no se encuentra en el caso de $\sf ZFC$, o una teoría lo suficientemente fuerte como para ser sometido a la segunda teorema de la incompletitud, sugieren que la respuesta no vendrá de gran cardenal y los gustos de ella. Y que la consistencia de los "saltos" que debe ir en un no-obvio dirección aquí.