¿Es útil el hecho de que haya más números irracionales que racionales?

Question

Aunque se sabe que la cardinalidad del conjunto de los números irracionales es mayor que la cardinalidad del conjunto de los números racionales, ¿existe alguna utilidad/aplicación de este hecho fuera de las matemáticas?

Answer 1

La incontabilidad de los reales puede utilizarse para demostrar la indecidibilidad del lenguaje $A_{TM}$ formado por pares $(M, \omega)$ donde $M$ es una máquina de Turing que acepta la entrada $\omega$ . La indecidibilidad de $A_{TM}$ se utiliza a menudo para demostrar que problemas bastante aplicados son en sí mismos indecidibles. Esto es práctico en el sentido de que es muy útil saber si un problema es indecidible antes de empezar a buscar una solución algorítmica. He aquí algunos ejemplos problemas indecidibles .

Answer 2

Fuera de las matemáticas, la distinción entre el número irracional $\pi$ y el número racional $10^{-10000}\lfloor 10^{10000}\pi\rfloor$ es irrelevante. En la vida cotidiana, incluso la distinción entre $\pi$ y $\frac{22}7$ tiene poca importancia.

Answer 3

Tiene muchas aplicaciones en informática, por ejemplo. El hecho de que $\Bbb{R}$ es separable (lo que significa que tiene un subconjunto denso contable: $\Bbb{Q}$ ), significa que muchos algoritmos que funcionan con los números reales son posibles mediante aproximación.

Answer 4

Todo en el mundo "real" es finito, ya que el universo tiene un número finito de partículas. Por lo tanto, si se considera que las "matemáticas" son una abstracción del mundo "real", entonces no, no hay aplicaciones fuera de las matemáticas.

Ahora bien, resolver, por ejemplo, las EDP que tratan problemas de la vida cotidiana se basa en modelos que utilizan teorías matemáticas con muchos cardinales infinitos. ¿Es eso útil?

De nuevo, el hecho de que $\mathbb R$ está conectado con respecto a la topología del orden es un hecho matemático puro. Sin embargo, miles de pruebas utilizan este hecho. También pruebas de resultados que se aplican en la vida "real". ¿Es eso útil?