Demostrar que $\sqrt{a}\leq\frac{1+a}{2}$

Question

Tengo una tarea de matemáticas donde se piden demostrar que:

$$\forall a \geq 0,\sqrt{a}\leq\frac{1+a}{2}$$

Sin embargo, no tengo ni idea cómo debo empezar esta...

¿Alguna idea?

Answer 1

Trate de expansión $ (\sqrt a - 1) ^ 2 \geq 0 $$

Answer 2

Más generalmente, que $a,b\geq0$.

$$(a-b)^2 \geq0$$

$$a^2-2ab+b^2 \geq0$$

$$a^2+2ab+b^2 \geq 4ab$$

$$(a+b)^2 \geq 4ab$$

$$\left(\frac{a+b}{2}\right)^2 \geq ab$$

$$\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}$$