Dos problemas con números primos

Question

Problema 1. Demostrar que existe $n\in\mathbb{N}$ tal que en el intervalo $(n^2, \ (n+1)^2)$ hay menos números de primos de $1000$.

Problema 2. Que $s_n=p_1+p_2+...+p_n$ $p_i$ Dónde está el número $i$-ésimo primo. Demostrar que existe para cada $n$, $k\in\mathbb{N}$ tal que $s_n<k^2<s_{n+1}$.

He encontrado estos dos hace rato y me interesaban. Pero no tiene ideas.

Answer 1

Problema 2: Para cualquier real positivo $x$, hay una plaza, entre las $x$$x+2\sqrt{x}+2$. Por lo tanto, será suficiente para demostrar que $p_{n+1}\geq 2\sqrt{s_n}+2$. Tenemos $s_{n}\leq np_n$$p_{n+1}\geq p_n+2$, tan sólo tenemos que mostrar $p_n\geq 2\sqrt{np_n}$, es decir, $p_n\geq 4n$. Que esto es para todos lo suficientemente grande $n$ sigue de una de Chebyshev de tipo de estimación $\pi(x)\asymp\frac{x}{\log(x)}\,$ (también podríamos utilizar PNT, pero no necesitamos toda la fuerza de este teorema), o señalando que, a menos de $\frac{1}{4}$ de los residuos de las clases de mod $210=2\cdot3\cdot5\cdot7$ son coprime a $210$. Podemos comprobar que la declaración de la mano de pequeño $n$.

Ya ha habido un par de respuestas, pero aquí está mi opinión sobre el problema 1: Supongamos que el enunciado es falso. De ello se desprende que $\pi(x)\leq 1000\sqrt{x}$ todos los $x$. Esto contradice de Chebyshev la estimación de $\pi(x)\asymp \frac{x}{\log(x)}$

Answer 2

Para el primero de ellos, se puede demostrar que hay un número entero positivo $n$ tal que $\pi((n+1)^2 - 1) - \pi(n^{2}) \geqslant 1000$, donde $\pi$ es el primer función de conteo, utilizando el Teorema del número primo.

Para la segunda, creo que postulado de Bertrand puede ser útil.

Answer 3

Solución a la primera:

Por la inspección de los primes, escoge $n = 8715$. Tenga en cuenta que $n^2 = 75951225 < 75951233$ y $(n+1)^2 = 75968656 > 75968723$.

Ahora $75951233$ y $75968723$ son números primos, con $\ge 1000$ primos entre ellos por lo que hemos terminado. [1]

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[1] el primer de th $4446857$ $75951233$ y el primer de th de $4447859$ $75968723$ (fuente: http://primes.utm.edu/nthprime/index.php). Además, $4447859 - 4446857 = 1002$.

Ejercicio: Ver que $n = 8715$ es el mínimo de $n$ satisfacer la demanda.

Answer 4

Aquí está mi intento en la primera parte de la pregunta, no estoy seguro de qué tan válida es, aunque, así que te agradecería comentarios/correcciones:

Se sabe que: $\pi(n)\sim\frac{n}{\ln{n}}$. Donde $\pi(n)$ es el primer conteo de la función en $n$ (es decir, el número de números primos menores o iguales a $n$).

Por lo tanto, estamos buscando para demostrar que existe una $n$ tal forma que:

$$\frac{(n+1)^{2}}{2\ln{(n+1)}}-\frac{n^{2}}{2\ln{n}}\geqslant1000$$

Que nos llame a $\pi_{d}(n)=\frac{(n+1)^{2}}{2\ln{(n+1)}}-\frac{n^{2}}{2\ln{n}}$. Por lo tanto, tenemos:

$$\frac{d\pi_{d}}{dn}=\left(\frac{n}{2\left(\ln{n}\right)^{2}}+\frac{n+1}{\ln{(n+1)}}\right)-\left(\frac{n}{\ln{n}}+\frac{n+1}{2\left(\ln{(n+1)}\right)^{2}}\right)$$

Por lo tanto $\frac{d\pi_{d}}{dn}\gt0$, $\forall n\gt0$. Por lo tanto, como $\pi_{d}(n)$ es monótona creciente: $\exists n:\pi((n+1)^{2})-\pi(n^{2})\geqslant1000$.