He visto Teorema de Van Kampen presenta algebraicamente muchas veces; y aunque proporciona un método útil de cálculo; No tengo una imagen muy clara de "por qué" debe ser verdadera. Alguien sabe de un argumento más visual; ¿o incluso un ejemplo que hace más fácil ver la TI?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Sólo voy a tratar de dar algunos intuición de por qué el Seifert-van Kampen es el Teorema de la geometría lo razonable, en lugar de intentar una prueba geométrica (que sería mucho más allá de mis capacidades, me temo).
El Seifert-van Kampen Teorema ("van Kampen" fue el último nombre, así que no debe ser un guión) dice que si $X=U\cup V$, $U$ $V$ arcwise conectado abrir subconjuntos, y $U\cap V$ es no vacío y arcwise conectado, a continuación, elegir un punto de base $x_0\in U\cap V$, luego $$\pi(X) \cong \pi(U)*_{\pi(U\cap V)}\pi(V);$$ es decir, el grupo fundamental de la $X$ es el libre amalgamado producto de los grupos fundamentales de $U$$V$, amalgamado sobre el subgrupo correspondiente al grupo fundamental de la $U\cap V$.
De forma intuitiva: se debe tener claro que $\pi(X)$ contiene subgrupos isomorfo a$\pi(U)$$\pi(V)$, y desde $X=U\cup V$, con tanto abierto, se debe ser razonable que $\pi(X)$ es generado por estos dos subgrupos: si usted tiene una arbitraria bucle en $X$ que serpentea entre el$U$$V$, usted puede tratar de descomposición en un equivalente de lazo que los suplentes de estar totalmente en $U$ y totalmente en $V$. También, $\pi(V)$ $\pi(U)$ va a tener cada uno de los subgrupos correspondientes a $\pi(U\cap V)$. Así que la pregunta real es ¿por qué esto debería ser la única interacción entre el $\pi(U)$ $\pi(V)$ (que es, por qué le da el libre producto, y no sólo a algunos cociente de ella).
Una relación correspondería a algunos de bucle en $X$ que va a través de$U$,$V$,$U$,$V$, etc., y es homotopy equivalente al loop. Imagina que encuentras un bucle, y elegir uno con el menor número posible de "cruces" de un conjunto a otro que satisface esta. Usted puede imaginar la configuración de su deformación, de modo que primero se "encoge" los "últimos" en parte, hasta que esté completamente contenida en $U\cap V$ (ya que es abierta y que es donde el punto de base). Pero que le daría un nuevo bucle que también es equivalente a la identidad, pero con un menor número de "cruces" (ya que usted puede llamar a la parte en $U\cap V$ parte de a $U$ o parte de $V$, según conveniencia). Esto indica que el menor número posible de cruces tiene que ser $0$; es decir, toda la cosa estaba contenida dentro de $U\cap V$ en el primer lugar. Así que usted no debe esperar que las relaciones entre el$\pi(U)$$\pi(V)$, a excepción de aquellos que provienen de la identificación de sus comunes subgrupo $\pi(U\cap V)$. Este es precisamente el producto libre y gratuito a la amalgamación.
Un buen lugar para conseguir algo de intuición es el caso en el que la intersección es simplemente conexa, como Qiaochu sugiere en los comentarios; me parece ramos de círculos de un terreno particularmente fértil, pero yo estoy un grupo teórico, por lo que este es casi el único tipo de grupo fundamental de la que yo juego con un semi-regular.
cjstehno
Puntos
131
He de decir que es menos adecuadamente de Arturo y demasiado áspero. Lo consideramos como un primer approxiation el teorema.
La manera de ver de Seifert-Van Kampen teorema es como una versión sofisticada de la dimensión de la suma de subespacios vectoriales:
$$ \mathrm{dim} (F + G) = \mathrm{dim} F + \mathrm{dim} G - \mathrm{dim} (F\cap G) \ . $$
Porque, olvidándose de torsión, el grupo fundamental de la cuenta el número de "agujeros" (no contráctiles de los bucles, los generadores de $\pi_1$) en su espacio de $X$. A la derecha?
Por lo tanto, si usted ha $X = U \cup V$, entonces el número de agujeros en $X$ debe ser igual al número de agujeros en $U$ más el número de agujeros en $V$..., menos el número de agujeros en $U\cap V$, debido a que estos queridos que ya se han contado dos veces.
Por lo tanto, con el fin de contar con todos los agujeros en $U$ además de los de $V$, de tomar el producto libre $\pi_1 (U) * \pi_1(V)$, pero debe "identificar" los agujeros "compartida" por $U$$V$. Esta es la razón por la amalgamado producto $\pi_1(U) *_{\pi_1(U\cap V)} \pi_1(V)$.
