Un duro 'si y sólo si' trigonométricas de identidad de la prueba

Question

Probar $$ \frac{-2+2\tan a+2\cos B\cdot\sen B+\cot^2\cdot({\s^4A-\operatorname{cosec}^2A-2)}}{2+\bronceado^2A-2\sin^2A} =(\sin Un+\cos A)^2 $$

si y sólo si B es el doble del ángulo de Una, o $B=2A+2k\pi$, $k=0,1,2,3...$

El consejo es bienvenido para mejorar la notación y el formato.

entiendo que la CARTA puede ser simplificado a 1+sen(2A), pero que no van a ninguna parte .

También, he sido capaz de simplificar el lado izquierdo de la expresión un poco, pero no me lleva a ninguna parte en absoluto. Tengo la sensación de que la dificultad de esta prueba radica en el uso de la 2 en el lado izquierdo.

de nuevo, muchas gracias, Yun Fei

Answer 1

Abreviar su ecuación como

$$\frac{P + 2\sin B \cos B}{Q} = R$$

tenemos

$$\sin 2B = Q R - P$$

donde

$$\begin{align} R &= \left(\cos A + \sin A \right)^2 = \cos^2 A + \sin^2 A + 2 \sin A \cos A \\ &= 1 + \sin 2A \\[4pt] Q &= 2 - 2 \sin^2 A + \tan^2 A = 2 \cos^2 A + \frac{\sin^2 A}{\cos^2 A} \\ &= \frac{1}{\cos^2 A}\left(2 \cos^4 A + \sin^2 A\right) \end{align}$$

Para $P$, le va muy bien a sumar y a restar $\csc^4 A$:

$$\begin{align} P &= 2 \tan A - 2 + \cot^2 A \left(- 2 + \sec^4 A - \csc^2 A \right) + \left( \csc^4 A - \csc^4 A \right)\\ &= 2 \tan A - 2 \left(1 +\cot^2 A \right) + \frac{\cos^2 A}{\sin^2 A}\left(\frac{1}{\cos^4 A} - \frac{1}{\sin^2 A} \right) + \frac{1}{\sin^4 A} &- \csc^4 A\\ &= 2 \tan A - 2 \csc^2 A + \frac{1}{\sin^2 A \cos^2 A} + \left(-\frac{\cos^2 A}{\sin^4 A} + \frac{1}{\sin^4 A}\right) &-\csc^4 A\\[4pt] &=2\tan A + \frac{1}{\sin^2 A \cos^2 A} - \frac{2}{\sin^2 A} + \frac{1}{\sin^2 A} &-\csc^4 A \\[4pt] &=2\tan A + \frac{1}{\sin^2 A \cos^2 A} - \frac{1}{\sin^2 A} &-\csc^4 A \\[4pt] &=\frac{2\sin A}{\cos A}+ \frac{1-\cos^2 A}{\sin^2 A\cos^2 A} &-\csc^4 A \\[4pt] &= \frac{2\sin A \cos A}{\cos^2 A} + \frac{1}{\cos^2 A} &-\csc^4 A \\[4pt] &= \frac{1+\sin 2A}{\cos^2 A} &-\csc^4 A \end{align}$$

Por lo tanto,

$$\begin{align} QR-P &= \frac{1}{\cos^2A}\left( 2 \cos^4 A + \sin^2 A \right)\left( 1 + \sin 2A \right) - \frac{1}{\cos^2 A}\left( 1 + \sin 2 A \right) + \csc^4 A \\[4pt] &= \frac{1}{\cos^2A}\left( 2 \cos^4 A + \sin^2 A - 1\right)\left( 1 + \sin 2A \right) + \csc^4 A \\[4pt] &= \frac{1}{\cos^2A}\left( 2 \cos^4 A - \cos^2 A\right)\left( 1 + \sin 2A \right) + \csc^4 A \\[4pt] &=\left( 2 \cos^2 A - 1\right)\left( 1 + \sin 2A \right) + \csc^4 A \\[4pt] &=\cos 2A \left( 1 + \sin 2A \right) + \csc^4 A \\[4pt] \end{align}$$

Así, la ecuación se reduce a

$$\sin 2 B = \cos 2A ( 1 + \sin 2 A ) + \csc^4 A$$

que es, decididamente, no es equivalente a $B = 2 A + 2k\pi$. Tal vez la ecuación original tiene un error o algo.

Tenga en cuenta que, incluso, se había convertido en la ecuación

$$\sin 2B = \sin 4A$$

(que parece más cercana a lo que podría estar anticipando), tendríamos $2B = 4A + 2k\pi$ O $2B = \pi - 4A + 2k\pi$, de donde $B = 2A+k\pi$ O $B = \frac{\pi}{2}-2A + k\pi$.

Answer 2

La ecuación puede ser escrita como

$\sin 2B =$ (complicado función racional de $\sin A$$\cos A$).

El lado izquierdo es limitado y el lado derecho parece tener un condonada 6-el fin de la pole en $\sin A = 0$ de la $\cot^2 A \csc^4 A$ plazo. [corrección de los comentarios: un 4to orden polo de la $\cot^2 A \sec^4 A$ plazo]