Usted es la mezcla de dos diferentes, pero relacionados con los objetos.
Si $(a,b) \ni t \mapsto \gamma (t) \in M$ es una curva en $M$ (en el caso de $M = \Bbb R^2$, pero el argumento es válido para general suave de colectores), y si $t_0 \in (a,b)$, entonces podemos hablar de dos diferentes "tangente cosas" en $\gamma (t_0)$.
No es el "espacio de la tangente en $\gamma (t_0)$": desde $\gamma$ es una curva (lo $1$-dimensional), este espacio de la tangente será un $1$-dimensional espacio afín - en otras palabras, una línea recta. Esto es exactamente lo que piensas cuando te dicen "la tangente en un punto a una curva". Para calcular en su caso, tenga en cuenta que $y = x^{\frac 3 2}$ e al $t_0 = 0$ las correspondientes coordenadas se $x_0 = x(t_0) = 0, \ y_0 = y(t_0) = 0$. La ecuación de la recta tangente a en $(x_0, y_0) = \gamma (t_0) = (0,0)$$y - y_0 = y'(x_0) (x - x_0)$. Desde $y'(x_0) = \frac 3 2 x_0 ^\frac 1 2 = 0$, la ecuación se convierte en $y=0$.
Imagine ahora que el mapa de $t \mapsto \gamma (t)$ es la trayectoria de un punto móvil. No es, entonces, la "velocidad" que tiene este punto en el momento en $t_0$, y ésta se dará por $\dot \gamma (t_0) = (\dot x (t_0), \dot y (t_0))$. Aviso que este vector será tangente a la curva de $\gamma$ en el punto de $\gamma (t_0)$, por lo que se va a vivir en el espacio de la tangente se describe en el párrafo anterior. La informática se da, de hecho,$\dot \gamma (t_0) = (2t_0, 3t_0^2) = (0,0)$, lo que se interpreta que la velocidad instantánea del móvil en el punto en $t_0 = 0$ es el vector de la $(0,0)$. Esto no quiere decir que el punto es inmóvil, porque también tiene un no-aceleración de cero $\ddot g (t_0) = (2, 6 t_0) = (2,0)$ que va a "dar un impulso".
Para concluir, la curva tiene una tangente (línea) en ese punto (que pasa a ser el eje horizontal $x$), y dentro de ella vive la velocidad en ese momento (que pasa a ser $(0,0)$ - recuerda que "la velocidad es un vector, no confundir con "velocidad", que es un número igual a la norma de la velocidad). Usted es confuso "el espacio de la tangente" y "velocidad" (el cual es un vector tangente que viven en el espacio de la tangente).
(Advertencia: yo deliberadamente borrosa la distinción entre afín espacio de la tangente y el vector tangente espacio, porque habría confundido aún más. Nota, sin embargo, que desde un estricto punto de vista técnico, la explicación anterior, todavía no es exacta - pero no te preocupes por el momento. Tenga en cuenta también que la mayoría de la construcción natural es el de "tangente paquete" -, pero sería una exageración para usted en su actual nivel de estudios).
Recuerde que una suave paramétricas de la curva se llama regular en un punto de $t$ si la velocidad en $t$ no es el vector cero. La curva, entonces, admite que las tangentes en todos los puntos donde es regular. Por desgracia, uno no puede saber lo que ocurre en los puntos (les llama "singular") - se podría admitir, o puede que no, y esto no tiene nada que ver con la expresión paramétrica de tener un límite (o un derivado) a $t$ o no.
Considere el ejemplo $t \mapsto (\cos (t^2), \sin (t^2))$ que no es regular en torno a $t=0$. No obstante, se reconoce la ecuación de la circunferencia $x^2 + y^2 = 1$, lo que claramente tiene una recta tangente en cada uno de sus puntos.
Consideremos, ahora, la curva paramétrica $t \mapsto \begin{cases} (-t^2, t^2), & t<0 \\ (t^2, t^2), & t \ge 0 \end{cases}$. De nuevo, esta parametrización no es regular en torno a $t=0$, pero esta vez su curva correspondiente (dado por la forma de V de la curva de $y = |x|$) no tiene una tangente en el $(0,0)$.
Si por sólo mirar a una curva paramétrica no podemos saber si su imagen curva tiene tangentes o no, cómo proceder entonces? Pues bien, una manera es deducir la ecuación de $x$ $y$ de su curva: en su caso, la curva es una cardioide, y es dado por $F(x,y) = 0$ donde $F(x,y) = (x^2 - x + y^2)^2 - 4(x^2 + y^2)$. Desde $F$ es suave y de una inmersión (la última propiedad significa, esencialmente, que en cada punto de la cardioide la matriz $\left( \frac {\partial F} {\partial x}, \frac {\partial F} {\partial y} \right)$ rango $1$), se deduce que el cardioide ha tangente líneas en cada uno de sus puntos (en lenguaje moderno: es un suave colector - pero usted aprenderá acerca de esto más adelante).
Para concluir: uno puede sacar ninguna conclusión acerca de la existencia de la tangente a las líneas en los puntos donde una parametrización no es regular; pueden existir, o puede que no - métodos alternativos debe ser utilizado.
Su libro es malo, pero de una forma muy sutil: cuando escriben $\frac {\Bbb d y} {\Bbb d x} = \frac {\frac {\Bbb d y} {\Bbb d t}} {\frac {\Bbb d x} {\Bbb d t}}$, lo que supone que en algún barrio de $(1,0)$ $y$ puede ser expresada como una función de $x$, para que la izquierda tenga un significado. Pero, ¿la mano izquierda realmente existe? Echando un vistazo a la $F$ anterior, podemos ver que $\frac {\partial F} {\partial y} (1,0) = 0$$\frac {\partial F} {\partial x} (1,0) \ne 0$, por lo tanto, uno no puede aplicar el teorema de la función implícita para obtener $y = y(x)$$\frac {\Bbb d y} {\Bbb d x} = \frac {\frac {\Bbb d F} {\Bbb d x}} {\frac {\Bbb d F} {\Bbb d y}}$, como se suele hacer (lo que uno puede hacer, sin embargo, es expresar $x$ como una función de la $y$ y calcular el $\frac {\Bbb d x} {\Bbb d y} = \frac {\frac {\Bbb d F} {\Bbb d y}} {\frac {\Bbb d F} {\Bbb d x}}$ - esto sería "legal", pero su libro no lo menciona).
Su profesor, también es erróneo, ya que el límite en la discusión es $0$ (como los otros han demostrado en sus respuestas - sólo tiene que utilizar L'Hospital del teorema). Es triste, muy triste ver que los educadores de matemáticas (profesores y autores de libros) realmente no dominar el tema de la presunción de experiencia.
