En la raíz de $\cos (a_1x) + \cdots + \cos (a_nx) = 0$

Question

Este es un problema que estuve tratando de resolver durante un tiempo sin éxito. Demuestre que la ecuación $\cos (a_1x) + \cdots + \cos (a_nx) = 0$ tiene al menos una solución en $[0,\frac {\pi}{a_1}]$ , donde $0 < a_1 < \cdots < a_n$ .

Answer 1

Por un simple argumento de escalamiento, está claro que sólo necesitamos demostrar la afirmación para el caso especial $a_1 = 1$ . Supongamos que este es el caso. Obsérvese que para cualquier $\alpha > 0$ tenemos

$$\int_0^\pi \sin(x) \cos(\alpha x) dx = \begin{cases} 0, & \alpha = 1\\ \frac{1 + \cos(\pi\alpha)}{1-\alpha^2}, & \alpha\ne 1 \end{cases}$$

Dejemos que $\;\displaystyle \varphi(x) = \sum_{k=1}^{n} \cos(a_k x)\;$ , las integrales anteriores implican

$$\int_0^\pi \sin(x)\varphi(x) dx = \sum_{k=2}^n \frac{1+\cos(\pi a_k)}{1-a_k^2} \le 0\tag{*1}$$ porque $a_1 = 1$ y $a_k > 1$ para $k \ge 2$ .

Aviso $\sin(x) > 0$ en $(0,\pi)$ y $\varphi(x) > 0$ cerca de $0$ . Si $\varphi(x)$ no desaparece para cualquier $x \in (0,\pi)$ entonces $\varphi(x) > 0$ en todo el $(0,\pi)$ . Este implicará la integral en el LHS de $(*1)$ es estrictamente positivo. Esto es una contradicción y por lo tanto $\varphi(x)$ debe tener una raíz en $(0,\pi)$ .

Answer 2

Esta no es una prueba bonita, pero aquí está mi foto.

Supongamos que $n=2$ . Con eso, lo siguiente es cierto:

$$ \cos(\frac{1}{3}\pi) + \cos(\frac{2}{3}\pi) = 0 $$

Supongamos que $x = \pi$ . Con esto, el rango para $x$ es ahora $[0,3\pi]$ que abarca $\pi$ .

Incluso para $n$ los valores del coseno tienen que ser simétricos por pares, $a_1$ será menor que $1/3$ como $n$ aumenta. Como tal, $x$ puede tener el valor de $\pi$ para $n>2$ . Para $n$ lo siguiente es cierto:

$$ \cos(\frac{1}{n+1}\pi) + ... + \cos(\frac{n-1}{n+1}\pi) = 0 $$

porque es una suma de pares que se cancelan. Y como se demostró antes, $x$ puede tener el valor de $\pi$ . Obsérvese que pueden existir infinitas formas, siempre que los pares

$$ \cos(a_1x) + \cos(\pi-a_1x) $$

existen, ya que se anulan a sí mismos. Para impar $n$ hay que añadir otro miembro, que siempre será $\cos(\frac{1}{2}\pi) = 0$

Si $x$ está contenida entre $[0,\frac{\pi}{a_1}]$ entonces $a_1x$ está contenida entre $[0,\pi]$ que contiene el rango del primer cuadrante. Como el primer término de todas estas ecuaciones existe en el primer cuadrante, el razonamiento es válido para todas $a_1>0$ .